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Aufgabenblock — AFB II
Zehn Aufgaben aus allen Unterkapiteln: Sachsituation übersetzen, ableiten, Gleichungen lösen, Ergebnisse deuten — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.
A1
Bakterienkultur
AFB IIEine Bakterienkultur wächst nach dem Modell \(N(t)=800\cdot e^{kt}\) (\(t\) in Stunden). Nach 3 Stunden zählt man 2000 Bakterien.
a) Stellen Sie die Gleichung für \(k\) auf und lösen Sie sie (vier Nachkommastellen). b) Wie viele Bakterien erwartet das Modell nach 8 Stunden?
Ansatz: \(800\cdot e^{3k}=2000\): erst durch \(800\) teilen, dann logarithmieren.
Rechenweg: \(e^{3k}=2{,}5\Rightarrow k=\frac{\ln2{,}5}{3}\); für b) \(N(8)=800\cdot e^{8k}\).
Lösung: a) \(k\approx0{,}3054\) b) \(N(8)\approx9210\)
Vollständige Lösung
\(e^{3k}=2{,}5\iff k=\frac{\ln2{,}5}{3}\approx0{,}3054\) pro Stunde. \(N(8)=800\cdot e^{8\cdot0{,}3054}\approx9210\) Bakterien. Hinweis: Mit dem ungerundeten \(k\) weiterrechnen, sonst weicht \(N(8)\) ab.
A2
Tangente an eine e-Funktion
AFB IIErmitteln Sie die Gleichung der Tangente \(t(x)=m\cdot x+n\) an den Graphen von \(f(x)=2e^{0{,}5x}\) im Punkt \((0\,|\,2)\).
Ansatz: Steigung \(m=f'(0)\) mit der Kettenregel, dann \(n\) aus dem Punkt.
Rechenweg: \(f'(x)=2\cdot0{,}5\cdot e^{0{,}5x}=e^{0{,}5x}\), \(f'(0)=1\); \(2=1\cdot0+n\).
Lösung: \(t(x)=x+2\)
Vollständige Lösung
\(f'(x)=e^{0{,}5x}\Rightarrow m=f'(0)=1\). Punkt einsetzen: \(2=1\cdot0+n\Rightarrow n=2\). Tangente: \(t(x)=x+2\).
A3
Tiefpunkt eines Produkts
AFB IIBestimmen Sie den Extrempunkt von \(f(x)=(x-1)\cdot e^{x}\).
Ansatz: Produktregel, e-Faktor ausklammern, \(f'(x)=0\) setzen.
Rechenweg: \(f'(x)=e^{x}+(x-1)e^{x}=x\,e^{x}\); \(x\,e^{x}=0\iff x=0\); Vorzeichenwechsel von \(-\) nach \(+\).
Lösung: Tiefpunkt \(T(0\,|\,-1)\)
Vollständige Lösung
\(f'(x)=x\,e^{x}=0\iff x=0\). Für \(x<0\) ist \(f'<0\), für \(x>0\) ist \(f'>0\): Tiefpunkt. \(f(0)=(0-1)\cdot1=-1\), also \(T(0\,|\,-1)\).