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Übungsaufgaben
Dreißig Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt sofort Rückmeldung; wenn Sie nicht weiterkommen, helfen die gestuften Tipps.
A1
Welche Regel brauche ich?
AFB I MixNicht jeder Term mit einem Malzeichen braucht die Produktregel. Ordnen Sie jede Funktion der Regel zu, die zum Ableiten mindestens nötig ist.
Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Produktregel
2Faktor- oder Kettenregel reicht
3Summenregel reicht
Die Produktregel braucht man nur, wenn beide Faktoren von \(x\) abhängen. Zahlfaktoren wie \(3\) oder \(8\) regelt die Faktorregel. Vorsicht bei \(e^{x}\cdot e^{x}\): Das ist \(e^{2x}\) — Kettenregel genügt (die Produktregel liefert dasselbe, nur umständlicher). Bei Summen leitet man jeden Summanden einzeln ab.
Ansatz: Fragen Sie bei jedem Malzeichen: Steht links und rechts davon ein x?
Weiter: Potenzgesetz nicht vergessen: \(e^{x}\cdot e^{x}=e^{x+x}\).
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IGegeben ist \(f(x)=x^{3}\cdot e^{x}\). Nennen Sie zu jeder Aussage, ob sie stimmt.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Wer den e-Faktor und zusätzlich \(x^{2}\) ausklammert, erhält \(f^{\prime}(x)=x^{2}(x+3)\,e^{x}\) und liest die Nullstellen \(x=0\) und \(x=-3\) von \(f^{\prime}\) direkt ab.
Ansatz: Leiten Sie zuerst selbst ab: \(u=x^{3}\), \(v=e^{x}\).
Weiter: Für die letzte Aussage \(f^{\prime}(1)\) einsetzen — \(e^{1}\) ist nicht \(1\).
A3
Produktregel Schritt für Schritt
AFB IEs soll \(f(x)=(2x+5)\cdot e^{-3x}\) abgeleitet werden. Geben Sie in jedem Schritt den passenden Term an.
Wählen Sie in jedem Menü den passenden Eintrag und prüfen Sie dann alle auf einmal.
\(u(x)=2x+5\;\Rightarrow\;u'(x)=\)
\(v(x)=e^{-3x}\;\Rightarrow\;v'(x)=\)
\(f'(x)=u'v+uv'=\)
\(f'(0)=\)
\(f^{\prime}(x)=2e^{-3x}+(2x+5)\cdot(-3)e^{-3x}=(2-6x-15)\,e^{-3x}=(-6x-13)\,e^{-3x}\). Der häufigste Fehler ist \((-6x-3)\): Dabei wurde die \(5\) nicht mit \(-3\) multipliziert — Klammer setzen!
Ansatz: Für \(v^{\prime}\) die Kettenregel: innere Ableitung von \(-3x\) ist \(-3\).
Weiter: \((2x+5)\cdot(-3)=-6x-15\). Dann \(2-15=-13\).