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Eine Funktion mit Hochpunkt
AFB I–IIGegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=(2x+1)\cdot e^{-x}\), \(x\in\mathbb R\). Die Abbildung zeigt ihren Graphen und eine Tangente \(t\).
Graph von f mit Tangente t (Skizze)
- Zeigen Sie mit der Produktregel, dass \(f^{\prime}(x)=(1-2x)\cdot e^{-x}\) gilt.
- Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \(t\) an den Graphen im Punkt \((0\,|\,f(0))\) und ihren Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse.
- Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts, in dem der Graph eine waagerechte Tangente hat.
- Begründen Sie, dass der Graph für \(x>0{,}5\) fällt, die \(x\)-Achse dort aber nicht schneidet.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
\(u=2x+1\), \(v=e^{-x}\); am Ende \(e^{-x}\) ausklammern.
Hinweis zu Aufgabe b)
Punkt-Steigungs-Form mit \(f(0)\) und \(f^{\prime}(0)\).
Hinweis zu Aufgabe c)
\(f^{\prime}(x)=0\) mit dem Satz vom Nullprodukt — \(e^{-x}\) ist nie \(0\).Berechnen: Ergebnis aus einem Ansatz durch Rechnung gewinnen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Vorzeichen von \(1-2x\) und von \(2x+1\) für \(x>0{,}5\) untersuchen.