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Übungsaufgaben
Dreißig Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt sofort Rückmeldung; wenn Sie nicht weiterkommen, helfen die gestuften Tipps.
A1
Zwei Punkte oder Regression?
AFB IOrdnen Sie jede Aussage zu: Gilt sie für den Zwei-Punkte-Ansatz, für die Regression mit dem Rechner oder für beide Verfahren?
Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1nur Zwei-Punkte-Ansatz
2nur Regression
3beide Verfahren
Der Zwei-Punkte-Ansatz nutzt nur zwei Messwerte und trifft diese exakt — ein Ausreißer im Paar verdirbt das ganze Modell. Die Regression gleicht über alle Werte aus und liefert mit \(r^{2}\) ein Gütemaß. Beide erzeugen \(a\cdot e^{kt}\), beide rechnen intern mit \(\ln\) (die Exp-Regression ist eine lineare Regression für \((t\,|\,\ln y)\)).
Ansatz: Wie viele Messwerte nutzt jedes Verfahren?Warum? Daraus folgt, ob das Modell Punkte exakt trifft oder ausgleicht.
Weiter: Ein Gütemaß wie \(r^{2}\) ergibt nur Sinn, wenn mehr Punkte als Parameter vorhanden sind.
A2
Stimmt's? — Ausgabe des TI-Nspire
AFB IFür eine Messreihe (\(t\) in Stunden) liefert die Exponentielle Regression des TI-Nspire: \(y=3{,}2\cdot1{,}35^{x}\), \(r^{2}=0{,}994\). Nennen Sie zu jeder Aussage, ob sie stimmt.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Merken Sie sich die Übersetzung \(b=e^{k}\Leftrightarrow k=\ln b\). Das Bestimmtheitsmaß ist eine Aussage über die vorhandenen Messwerte, keine Garantie für die Zukunft.
Ansatz: Der TI-Nspire rechnet in der Form \(a\cdot b^{x}\). Wie hängt \(b\) mit \(k\) zusammen?
Weiter: \(b^{x}=e^{x\ln b}\), also \(k=\ln b\approx0{,}300\).
A3
Schimmel auf dem Nährboden
AFB IEine Schimmelkolonie bedeckt zu Beginn \(0{,}8\,\mathrm{cm^2}\), nach 6 Stunden \(3{,}1\,\mathrm{cm^2}\). Das Modell lautet \(A(t)=0{,}8\cdot e^{kt}\). Berechnen Sie \(k\) auf drei Nachkommastellen.
Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(0{,}8\cdot e^{6k}=3{,}1\Rightarrow e^{6k}=3{,}875\Rightarrow k=\frac{\ln3{,}875}{6}\approx0{,}226\) pro Stunde. Weil der Startwert bei \(t=0\) gemessen wurde, ist \(a=0{,}8\) sofort klar — nur \(k\) muss berechnet werden.
Ansatz: Setzen Sie den Punkt \((6\,|\,3{,}1)\) ein und teilen Sie durch \(0{,}8\).
Weiter: Dann beide Seiten logarithmieren: \(6k=\ln3{,}875\).