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Borkenkäfer im Fichtenwald
AFB I–IIEin Förster zählt in einem Revier die Fichten, die vom Borkenkäfer befallen sind (\(t\) in Wochen seit Beginn der Zählung).
| \(t\) in Wochen | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(N(t)\) | 40 | 65 | 98 | 158 | 226 |
Befallene Fichten im Revier
- Bestimmen Sie ein Modell \(Z(t)=a\cdot e^{kt}\), das durch die Messpunkte für \(t=0\) und \(t=2\) verläuft.
- Ermitteln Sie mit dem Rechner die exponentielle Regression \(R(t)=a\cdot e^{kt}\) über alle Messwerte und geben Sie das Bestimmtheitsmaß an.
- Vergleichen Sie beide Modelle anhand des Werts für \(t=8\) und begründen Sie, welches Modell die Messreihe besser beschreibt.
- Berechnen Sie mit dem Regressionsmodell, wann 1000 Fichten befallen sind, und die Verdopplungszeit.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Weil ein Messwert bei \(t=0\) vorliegt, ist \(a\) sofort bekannt.
Hinweis zu Aufgabe b)
GTR: MENU Statistik, \(t\) in List 1, \(N\) in List 2, F2 (CALC) → F3 (REG) → F6 (▷) → Exp → \(a\cdot e^{bx}\). TI-Nspire: Exponentielle Regression liefert \(a\cdot b^{x}\) — dann \(k=\ln b\).Ermitteln: Rechnerweg ist erlaubt, Eingabe kurz dokumentieren.
Hinweis zu Aufgabe c)
Berechnen Sie \(Z(8)\) und \(R(8)\) und bilden Sie jeweils die Abweichung zum Messwert 226. Die Abbildung hilft beim Vergleich.
Hinweis zu Aufgabe d)
Gleichung \(R(t)=1000\) mit \(\ln\) lösen oder am GTR: Graph von \(R\) und \(y=1000\), G-SOLVE (SHIFT F5) → F5 INTSECT. Verdopplungszeit \(T_{2}=\frac{\ln2}{k}\).