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Übungsaufgaben
Dreißig Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt sofort Rückmeldung; wenn Sie nicht weiterkommen, helfen die gestuften Tipps.
A1
Gleiche Funktion, andere Schreibweise
AFB IJede Exponentialfunktion \(a^{x}\) lässt sich als \(e^{kx}\) schreiben. Ordnen Sie jeder Potenz die passende e-Funktion zu (k auf drei Nachkommastellen gerundet).
Klicken Sie links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Immer gilt \(k=\ln a\): \(\ln1{,}2\approx0{,}182\), \(\ln0{,}6\approx-0{,}511\), \(\ln3\approx1{,}099\), \(\ln10\approx2{,}303\). Basen unter 1 liefern ein negatives \(k\), und bei Basen nahe 1 liegt \(k\) dicht bei \(a-1\).
Ansatz: Zu jeder Basis \(a\) gehört \(k=\ln a\). Zuerst das Vorzeichen prüfen: \(a<1\Rightarrow k<0\).
Weiter: Zwischen \(1{,}2\) und \(1{,}08\) entscheidet die Größe: \(\ln1{,}08\) ist ungefähr \(0{,}08\), nur etwas kleiner.
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IEin Bestand wird durch \(f(x)=4\cdot0{,}7^{x}\) beschrieben. Nennen Sie zu jeder Aussage, ob sie stimmt.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Beim Umschreiben wird aus dem Faktor \(0{,}7\) die Konstante \(k=\ln0{,}7\approx-0{,}357\). Mit diesem \(k\) erhält man Ableitung (\(f^{\prime}=k\cdot f\)) und Halbwertszeit (\(\frac{\ln2}{|k|}\)) direkt.
Ansatz: Rechnen Sie zuerst \(k=\ln0{,}7\) aus und vergleichen Sie jede Aussage damit.
Weiter: Ableitung: \(\left(a^{x}\right)^{\prime}=\ln a\cdot a^{x}\) — der Vorfaktor \(4\) bleibt stehen.
A3
Ableiten mit ln a
AFB I MixGeben Sie jeweils die richtige Ableitung an. Zwei Terme brauchen zusätzlich die Kettenregel aus 5.2.1.
Wählen Sie in jedem Menü den passenden Eintrag und prüfen Sie dann alle auf einmal.
\(f(x)=3^{x}\;\Rightarrow\;f'(x)=\)
\(f(x)=x^{3}\;\Rightarrow\;f'(x)=\)
\(f(x)=7\cdot1{,}3^{x}\;\Rightarrow\;f'(x)\approx\)
\(f(x)=3^{2x}\;\Rightarrow\;f'(x)=\)
\(f(x)=e^{-0{,}5x}\;\Rightarrow\;f'(x)=\)
\(7\cdot\ln1{,}3\approx7\cdot0{,}2624\approx1{,}837\). Bei \(3^{2x}=e^{2x\cdot\ln3}\) liefert die Kettenregel den inneren Faktor \(2\), der \(\ln3\) bleibt — insgesamt \(2\ln3\cdot3^{2x}\).
Ansatz: Steht \(x\) im Exponenten, gilt \(\left(a^{x}\right)^{\prime}=\ln a\cdot a^{x}\); steht \(x\) in der Basis, gilt die Potenzregel.
Weiter: Bei \(3^{2x}\) und \(e^{-0{,}5x}\) ist der Exponent linear — Faktor vor \(x\) als Ableitung der inneren Funktion dazu.