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Wertsteigerung von Gemälden
AFB I–IIEin Kunsthändler kauft ein Gemälde für \(12\,000\) €. Sein Wert wird durch \(W(t)=12\cdot1{,}045^{t}\) beschrieben (\(t\) in Jahren seit dem Kauf, \(W\) in Tausend €). Ein zweites Gemälde kostet \(15\,000\) €; sein Wert wird durch \(V(t)=15\cdot e^{0{,}03t}\) beschrieben.
Wertentwicklung zweier Gemälde (Skizze)
- Geben Sie die jährliche prozentuale Wertsteigerung von \(W\) an und schreiben Sie \(W\) in der Form \(W(t)=12\cdot e^{kt}\).
- Berechnen Sie \(W^{\prime}(10)\) und deuten Sie den Wert im Sachzusammenhang.
- Zeigen Sie, dass sich der Wert von \(W\) nach knapp \(16\) Jahren verdoppelt hat.
- Ermitteln Sie, nach wie vielen Jahren beide Gemälde gleich viel wert sind, und vergleichen Sie die prozentualen Wertsteigerungen.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Faktor \(1{,}045\) ablesen; dann \(k=\ln1{,}045\).Angeben: ohne ausführliche Rechnung.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(\left(a^{t}\right)^{\prime}=\ln a\cdot a^{t}\). Einheit: Tausend € pro Jahr. GTR fx-CG50: im RUN-Menü direkt eintippen; CAS: \(\frac{d}{dt}\) aus dem Vorlagenmenü.
Hinweis zu Aufgabe c)
Verdopplungszeit \(T_{2}=\frac{\ln2}{k}\).
Hinweis zu Aufgabe d)
\(12\cdot e^{kt}=15\cdot e^{0{,}03t}\) durch \(12\,e^{0{,}03t}\) teilen und logarithmieren — oder GTR: beide Graphen zeichnen, SHIFT F5 (G-SOLVE) → F5 (INTSECT). CAS:
solve(12·1.045^t=15·e^(0.03t),t).