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Übungsaufgaben
Dreißig Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt sofort Rückmeldung; wenn Sie nicht weiterkommen, helfen die gestuften Tipps.
A1
Wo liegt die Lösung?
AFB IOrdnen Sie jede Gleichung danach zu, ob ihre Lösung positiv ist, null oder negativ ist — oder ob es gar keine gibt.
Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Lösung x > 0
2Lösung x ≤ 0
3keine Lösung
\(\ln x=-4\) hat die positive Lösung \(x=e^{-4}\approx0{,}018\) — ein negativer Logarithmus heißt nicht, dass \(x\) negativ ist. \(3e^{x}=0{,}5\) führt auf \(x=\ln\frac16\approx-1{,}79\), \(e^{-x}=4\) auf \(x=-\ln4\). Gleichungen mit \(e^{\ldots}\le0\) sind unlösbar, weil \(e^{x}\) immer positiv ist.
Ansatz: Isolieren Sie die Potenz: Ist die rechte Seite \(\le0\), gibt es keine Lösung.Warum? Die e-Funktion nimmt nur positive Werte an.
Weiter: \(e^{x}=c\) hat eine positive Lösung genau dann, wenn \(c>1\). Bei \(\ln x=c\) ist \(x=e^{c}\) immer positiv.
A2
Stimmt's? — Fünferserie zum ln
AFB INennen Sie zu jeder Aussage über den natürlichen Logarithmus, ob sie stimmt.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Die drei Rechengesetze machen aus Produkten Summen, aus Quotienten Differenzen und aus Potenzen Vielfache. Für Summen im Argument gibt es kein Gesetz.
Ansatz: Denken Sie an die Definition: \(\ln y\) ist die Zahl \(x\) mit \(e^{x}=y\).
Weiter: Prüfen Sie Zweifelsfälle mit dem Rechner, z. B. \(\ln8\) und \(3\ln2\).
A3
Erst teilen, dann logarithmieren
AFB ILösen Sie die Gleichung \(3e^{2x}=48\). Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(3e^{2x}=48\;|:3\Rightarrow e^{2x}=16\;|\ln\Rightarrow2x=\ln16\Rightarrow x=\frac{\ln16}{2}=\ln4\approx1{,}39\). Probe: \(3e^{2\cdot1{,}386}\approx48\).
Ansatz: Die Potenz muss allein stehen, bevor Sie logarithmieren.
Weiter: Nach \(:3\) steht \(e^{2x}=16\); \(\ln\) auf beide Seiten holt \(2x\) herunter.