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Übungsaufgaben
Dreißig Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt sofort Rückmeldung; wenn Sie nicht weiterkommen, helfen die gestuften Tipps.
A1
Wie verhält sich f′ zu f?
AFB IOrdnen Sie jeder Funktion zu, in welcher Beziehung ihre Ableitung \(f'\) zur Funktion \(f\) steht.
Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1f′ = f
2f′ = k · f mit k ≠ 1
3f′ = 0
Die Faktorregel lässt \(f'=f\) auch bei \(5e^{x}\) und \(-e^{x}\) bestehen: \((5e^{x})'=5e^{x}\). Jede andere Basis erzeugt einen Faktor \(k\neq1\) — bei \(0{,}5^{x}\) sogar negativ (\(k\approx-0{,}693\)). \(e^{3}\approx20{,}09\) und \(\pi^{2}\) sind Zahlen, ihr Graph ist eine waagerechte Gerade.
Ansatz: Steht \(x\) im Exponenten? Wenn nicht, ist der Term eine Konstante.Warum? Die Ableitung einer Konstanten ist \(0\).
Weiter: Ein konstanter Vorfaktor bleibt beim Ableiten stehen — er ändert nichts daran, ob \(f'=f\) gilt.
A2
Stimmt's? — Fünferserie zur Zahl e
AFB INennen Sie zu jeder Aussage über die Eulersche Zahl und die natürliche Exponentialfunktion, ob sie stimmt.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Merken Sie sich die Doppelrolle: \(e\) ist eine feste Zahl, \(e^{x}\) ist eine Funktion. Nur bei der Funktion gilt \((e^{x})'=e^{x}\).
Ansatz: Prüfen Sie bei jeder Aussage: Geht es um die Zahl \(e\) oder um die Funktion \(e^{x}\)?
Weiter: Bei der Tangente: Steigung \(=f'(1)=e^{1}\).
A3
Steigung ablesen ohne Ableitungsregel
AFB IFür \(f(x)=e^{x}\) gilt \(f'(x)=f(x)\). Geben Sie die Steigung des Graphen an der Stelle \(x=1{,}5\) auf zwei Nachkommastellen an.
Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(f'(1{,}5)=e^{1{,}5}\approx4{,}48\). Steigung und Funktionswert sind bei \(e^{x}\) an jeder Stelle gleich — der Punkt \((1{,}5\,|\,4{,}48)\) hat also eine Tangente mit Steigung \(4{,}48\).
Ansatz: Wegen \(f'=f\) brauchen Sie nur den Funktionswert.
Weiter: Am GTR: SHIFT ln liefert \(e^{\square}\); dann \(1{,}5\) eingeben.