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Tangente als Näherung
AFB I–IIGegeben ist die natürliche Exponentialfunktion \(f(x)=e^{x}\). In der Nähe von \(x=0\) wird \(e^{x}\) oft durch die Tangente in \(P(0\,|\,1)\) ersetzt.
Graph von f(x) = eˣ mit Tangente t in (0 | 1)
- Geben Sie \(f(0)\) und \(f'(0)\) an und stellen Sie die Gleichung der Tangente \(t\) in \(P\) auf.
- Berechnen Sie die Abweichung zwischen \(f(x)\) und \(t(x)\) für \(x=0{,}2\) und für \(x=-0{,}5\).
- Weisen Sie mithilfe der zweiten Ableitung nach, dass der Graph von \(f\) nirgends unterhalb von \(t\) verläuft.
- Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an der Stelle \(x=-1\) und ihren Schnittpunkt mit der y-Achse (exakt und gerundet).
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Wegen \(f'=f\) gilt \(f'(0)=e^{0}\).Angeben: ohne Rechnung nennen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Abweichung \(=f(x)-t(x)\). GTR: Tabelle (MENU 7) mit \(Y1=e^{x}\), \(Y2=x+1\) und \(Y3=Y1-Y2\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Was bedeutet \(f''(x)>0\) für die Lage des Graphen zu seinen Tangenten?
Hinweis zu Aufgabe d)
Punkt-Steigungs-Form \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) mit \(a=-1\); \(f(-1)=f'(-1)=e^{-1}\).