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Planschbecken
AFB I–IIEin Planschbecken wird morgens mit kaltem Leitungswasser gefüllt und steht dann in der Sonne. Die Wassertemperatur wird durch \(T(t)=30-16\cdot e^{-0{,}2t}\) beschrieben (\(t\) in Stunden, \(T\) in °C).
Planschbecken in der Sonne (Skizze)
- Geben Sie die Anfangstemperatur und die Schranke an und deuten Sie die Schranke im Sachzusammenhang.
- Berechnen Sie die Temperatur nach 3 Stunden und den Zeitpunkt, zu dem das Wasser 25 °C warm ist.
- Weisen Sie nach, dass \(T'(t)=0{,}2\cdot\bigl(30-T(t)\bigr)\) gilt, und geben Sie die Erwärmungsrate zu Beginn an.
- Begründen Sie, dass das Wasser nie 30 °C erreicht, und untersuchen Sie, ab wann es sich um weniger als 0,5 °C pro Stunde erwärmt.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
\(e^{0}=1\); die Schranke ist der Wert, gegen den \(T(t)\) für \(t\to\infty\) strebt.Angeben: ohne Rechnung nennen.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(T(t)=25\) nach \(e^{-0{,}2t}\) umstellen, dann \(\ln\). GTR-Kontrolle: Graph, SHIFT F5 (G-SOLVE), F5 INTSECT mit \(y=25\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Kettenregel für \(e^{-0{,}2t}\); dann \(16\,e^{-0{,}2t}=30-T(t)\) ersetzen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Ungleichung \(T'(t)<0{,}5\) mit dem Ergebnis aus c) lösen — oder am GTR in der Tabelle (MENU 7) ablesen.