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Übungsaufgaben
Dreißig Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt sofort Rückmeldung; wenn Sie nicht weiterkommen, helfen die gestuften Tipps.
A1
Wohin für x → +∞?
AFB IOrdnen Sie jede Funktion ihrem Verhalten für \(x\to+\infty\) zu.
Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1f(x) → +∞
2f(x) → −∞
3f(x) → 0
Wächst der e-Faktor (\(e^{x}\)), setzt er sich durch; das Vorzeichen des Polynoms entscheidet über \(+\infty\) oder \(-\infty\): \((1-x)\to-\infty\), also \((1-x)e^{x}\to-\infty\). Schrumpft der e-Faktor (\(e^{-x}\)), gewinnt er ebenfalls — egal wie hoch die Potenz ist: \(x^{5}e^{-x}\to0\). Bei \(2x+e^{-x}\) verschwindet der e-Summand, übrig bleibt \(2x\to+\infty\).
Ansatz: Erst klären: Wächst der e-Teil für \(x\to+\infty\) oder geht er gegen \(0\)?
Weiter: Bei Summen: Welcher Summand wird riesig, welcher verschwindet?
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IGegeben ist \(f(x)=(x+3)\cdot e^{x}\). Nennen Sie zu jeder Aussage, ob sie stimmt.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Links von \(x=-3\) ist \(f(x)<0\), der Graph kommt also von unten an die \(x\)-Achse heran. Die „Nahansicht“ bei \(x=-10\) (\(f\approx-0{,}0003\)) zeigt fast schon \(0\).
Ansatz: Nullstellen: Satz vom Nullprodukt. Grenzwerte: Wer gewinnt, \(x+3\) oder \(e^{x}\)?
Weiter: Für \(x\to-\infty\) geht \(e^{x}\to0\) — schneller, als jedes Polynom wächst.
A3
Nullstelle mit dem Nullprodukt
AFB IBerechnen Sie die Nullstelle von \(f(x)=(2x-5)\cdot e^{-x}\).
Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\((2x-5)\cdot e^{-x}=0\Leftrightarrow2x-5=0\), denn \(e^{-x}>0\) für alle \(x\). Also \(x=2{,}5\) — eine einzige Nullstelle, obwohl ein e-Term dabei ist.
Ansatz: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn ein Faktor 0 ist.
Weiter: \(e^{-x}=0\) hat keine Lösung — es bleibt \(2x-5=0\).