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Welcher Graph passt?
AFB I–IIGegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=(x^{2}-2x)\cdot e^{-x}\), \(x\in\mathbb R\). Die Abbildung zeigt drei Graphen, von denen genau einer zu \(f\) gehört.
Drei Graphen (Skizze)
- Berechnen Sie die Nullstellen von \(f\).
- Beschreiben Sie das Verhalten von \(f\) für \(x\to+\infty\) und \(x\to-\infty\) und geben Sie die Asymptote an.
- Ordnen Sie \(f\) den passenden Graphen zu und begründen Sie, warum die beiden anderen Graphen ausscheiden.
- Es gilt \(f^{\prime}(x)=(-x^{2}+4x-2)\cdot e^{-x}\). Bestimmen Sie die Stellen, an denen der Graph von \(f\) eine waagerechte Tangente hat, und die zugehörigen Funktionswerte.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Satz vom Nullprodukt; \(x\) ausklammern.
Hinweis zu Aufgabe b)
Dominanz des e-Faktors: \(e^{-x}\to0\) für \(x\to\infty\), \(e^{-x}\to\infty\) für \(x\to-\infty\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Welche Graphen haben die Nullstellen aus a)? Welcher davon zeigt das Verhalten aus b)?Zuordnen: Zusammenhänge begründet herstellen.
Hinweis zu Aufgabe d)
\(-x^{2}+4x-2=0\) mit der pq-Formel (vorher mit \(-1\) multiplizieren). GTR: SHIFT F5 (G-SOLVE) → F1 (ROOT) auf \(f^{\prime}\) oder F2 (MAX) auf \(f\).