Aufgabenblock — AFB III
Zehn offene Aufgaben: begründen, beurteilen, Stellung nehmen, ein Spiel entwerfen. Die Musterlösung zeigt eine vollständige Argumentation.
Begründe: Gilt \(P_A(B)=P_{\overline A}(B)\), dann ist \(P_A(B)=P(B)\).
Hinweis: Schreibe \(P(B)\) mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit (beide Pfade zu \(B\)).
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Musterlösung: Sei \(q=P_A(B)=P_{\overline A}(B)\). Dann ist \(P(B)=P(A)\cdot q+P(\overline A)\cdot q=q\cdot\big(P(A)+P(\overline A)\big)=q\cdot1=q\). Also \(P_A(B)=P(B)\) — das Eintreten von \(A\) ändert die Wahrscheinlichkeit von \(B\) nicht.
Beurteile die Aussage: „Der Test erkennt 99 % der Erkrankten. Wer positiv getestet wird, ist also zu 99 % krank.“
Nimm an: 1 % der Bevölkerung ist erkrankt, 2 % der Gesunden werden fälschlich positiv getestet.
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Musterlösung: Die Aussage verwechselt \(P_K(+)\) mit \(P_+(K)\). Von 10 000 Personen sind 100 krank (99 positiv) und 9 900 gesund (198 positiv). Von 297 Positiven sind nur 99 krank: \(P_+(K)=\tfrac{99}{297}\approx33\,\%\). Die Aussage ist falsch; bei seltenen Krankheiten ist ein positives Ergebnis viel unsicherer als die Trefferquote.
Zeige: Zwei unvereinbare Ereignisse \(A\), \(B\) mit \(P(A)>0\) und \(P(B)>0\) sind stochastisch abhängig.
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Musterlösung: Unvereinbar heißt \(A\cap B=\emptyset\), also \(P(A\cap B)=0\). Wegen \(P(A)>0\) und \(P(B)>0\) ist \(P(A)\cdot P(B)>0\). Damit gilt \(P(A\cap B)\ne P(A)\cdot P(B)\) — die Ereignisse sind abhängig. Anschaulich: Tritt \(A\) ein, ist \(B\) sicher ausgeschlossen, \(P_A(B)=0\ne P(B)\).