MINT üben

Mit dem Zufall rechnen

Zehn Aufgaben mit Sachkontext — hier müssen Tafel, Baum und Kenngrößen zusammenarbeiten.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Aufgaben, in denen mehrere Schritte zusammenkommen: Baum umkehren, Unabhängigkeit prüfen, Spiele bewerten. Die Tipps stufen den Weg ab.

A1
Pünktlich mit dem Rad?
AFB II

40 % der Schülerinnen und Schüler einer Schule kommen mit dem Rad (\(R\)). Von den Radfahrern sind 90 % pünktlich (\(P\)), von den übrigen 70 %.

a) Berechne \(P(R\cap P)\). b) Berechne \(P(P)\). c) Eine pünktliche Person wird zufällig ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sie mit dem Rad kam.

Ansatz: Baum mit erster Stufe \(R\) zeichnen; c) ist die umgekehrte Bedingung.
Rechenweg: \(0{,}4\cdot0{,}9=0{,}36\); \(0{,}6\cdot0{,}7=0{,}42\); \(P_P(R)=\tfrac{0{,}36}{0{,}78}\).
Lösung: a) 0,36 b) 0,78 c) ≈ 0,46
Vollständige Lösung
a) Pfad \(R\to P\): \(0{,}4\cdot0{,}9=0{,}36\). b) Beide Pfade zu \(P\): \(0{,}36+0{,}6\cdot0{,}7=0{,}78\). c) \(P_P(R)=\dfrac{0{,}36}{0{,}78}\approx0{,}46\) — knapp die Hälfte der Pünktlichen kommt mit dem Rad.
A2
Ausschuss aus zwei Maschinen
AFB II

Maschine M1 fertigt 70 % der Teile, Maschine M2 den Rest. M1 produziert 2 % Ausschuss, M2 5 %.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Teil Ausschuss ist. b) Ein Teil ist Ausschuss. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es von M2 stammt.

Ansatz: Baum: erste Stufe Maschine, zweite Stufe Ausschuss \(A\).
Rechenweg: \(0{,}7\cdot0{,}02=0{,}014\), \(0{,}3\cdot0{,}05=0{,}015\); b) \(\tfrac{0{,}015}{0{,}029}\).
Lösung: a) 0,029 b) ≈ 0,52
Vollständige Lösung
a) \(P(A)=0{,}014+0{,}015=0{,}029\). b) \(P_A(M2)=\dfrac{0{,}015}{0{,}029}\approx0{,}52\). Obwohl M2 nur 30 % fertigt, stammt über die Hälfte des Ausschusses von M2.
A3
Kaffee und Frühaufsteher
AFB II

Von 200 Befragten trinken 120 morgens Kaffee (\(K\)), 80 sind Frühaufsteher (\(F\)), 48 sind beides.

a) Berechne \(P_F(K)\). b) Berechne \(P(K)\). c) Gib \(P(K)\cdot P(F)\) an und entscheide, ob \(K\) und \(F\) unabhängig sind.

Ansatz: Anteil der Kaffeetrinker unter den Frühaufstehern mit dem Anteil unter allen vergleichen.
Rechenweg: \(\tfrac{48}{80}\), \(\tfrac{120}{200}\), \(0{,}6\cdot0{,}4\) und mit \(P(K\cap F)=\tfrac{48}{200}\) vergleichen.
Lösung: a) 0,6 b) 0,6 c) 0,24 = P(K ∩ F) → unabhängig
Vollständige Lösung
\(P_F(K)=\tfrac{48}{80}=0{,}6=P(K)\). Außerdem \(P(K)\cdot P(F)=0{,}6\cdot0{,}4=0{,}24=\tfrac{48}{200}=P(K\cap F)\). Die Ereignisse sind stochastisch unabhängig.