Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Aussagen beurteilen, Formeln allgemein untersuchen und Modelle kritisch prüfen, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründe, dass P(X = k) = P(Y = n − k) gilt, wenn X die Treffer und Y die Nieten einer Bernoulli-Kette zählt.
Hinweis: Vergleiche die Ereignisse, nicht die Formeln.
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Musterlösung: Jeder Pfad mit genau k Treffern hat genau n − k Nieten und umgekehrt. Die Ereignisse „X = k“ und „Y = n − k“ bestehen also aus denselben Pfaden und haben dieselbe Wahrscheinlichkeit. In Formeln: (n über k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ = (n über n − k) · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ · pᵏ, denn (n über k) = (n über n − k).
Beurteile die Aussage: „Wirft man eine faire Münze 10-mal, kommt genau 5-mal Kopf, weil der Erwartungswert 5 ist.“
Hinweis: Berechne P(X = 5).
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Der Erwartungswert μ = 10 · 0,5 = 5 ist der Mittelwert der Trefferzahl über sehr viele Serien. Genau 5-mal Kopf tritt nur mit P(X = 5) = (10 über 5) · 0,5¹⁰ ≈ 0,246 ein — in etwa drei von vier Serien kommt eine andere Zahl.
Untersuche, wie sich μ, σ und der Quotient σ : n ändern, wenn n vervierfacht wird (p bleibt gleich).
Hinweis: Setze 4n in die Formeln ein.
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Musterlösung: μ = n · p wird zu 4n · p, vervierfacht sich also. σ = √(n p(1 − p)) wird zu √(4 n p(1 − p)) = 2σ, verdoppelt sich nur. Der Quotient σ : n halbiert sich: 2σ : (4n) = ½ · σ : n. Deshalb werden relative Häufigkeiten bei großen Stichproben verlässlicher.