Die Binomialverteilung: Übungen AFB II – Mathe Grundkurs

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus dem ganzen Kapitel: erst Zufallsgröße, n und p festlegen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

Raten im Test

AFB II

Ein Test hat 10 Fragen mit je 4 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Tim kreuzt bei jeder Frage zufällig an.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 3 richtige Antworten. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens 5 richtige Antworten (je vier Nachkommastellen).

a) P(X = 3) =

b) P(X ≥ 5) =

Ansatz: X: Anzahl richtiger Antworten, n = 10, p = 0,25.

Rechenweg: a) Bpd mit x = 3; b) 1 − P(X ≤ 4) oder Bcd mit Lower 5, Upper 10.

Lösung: a) 0,2503 b) 0,0781

Vollständige Lösung

X ~ B(10; 0,25). a) P(X = 3) = (10 über 3) · 0,25³ · 0,75⁷ ≈ 0,2503. b) P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4) ≈ 1 − 0,9219 = 0,0781. Mit Raten die Hälfte zu schaffen, gelingt also nur in etwa 8 % der Fälle.

Freiwurftraining

AFB II

Eine Basketballerin trifft 85 % ihrer Freiwürfe. Sie wirft 12-mal.

a) Wie viele Treffer sind im Mittel zu erwarten? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft sie alle 12 Würfe (vier Nachkommastellen)?

a) μ =

b) P(X = 12) =

Ansatz: n = 12, p = 0,85; für b) nur ein Pfad.

Rechenweg: a) μ = n · p; b) 0,85¹².

Lösung: a) 10,2 b) 0,1422

Vollständige Lösung

a) μ = 12 · 0,85 = 10,2 Treffer. b) P(X = 12) = 0,85¹² ≈ 0,1422 — nur in etwa jeder siebten Serie gelingen alle Würfe.

Keimende Samen

AFB II

Laut Packung keimen 90 % der Samen. Es werden 20 Samen ausgesät.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 16 keimen. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass 17 bis 19 keimen (je vier Nachkommastellen).

a) P(X ≤ 16) =

b) P(17 ≤ X ≤ 19) =

Ansatz: X: Anzahl keimender Samen, n = 20, p = 0,9.

Rechenweg: a) Bcd Lower 0, Upper 16. b) Bcd Lower 17, Upper 19.

Lösung: a) 0,1330 b) 0,7455

Vollständige Lösung

a) P(X ≤ 16) ≈ 0,1330. b) P(17 ≤ X ≤ 19) = P(X ≤ 19) − P(X ≤ 16) ≈ 0,8784 − 0,1330 = 0,7455.