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Eine Funktion vollständig untersuchen
AFB IIGegeben ist \(f(x)=(x^{2}-4)\cdot e^{-0{,}5x}\).
Graph von f
- Bestimmen Sie die Nullstellen und beschreiben Sie das Verhalten für \(x\to\pm\infty\).
- Bestimmen Sie die Extrempunkte (zwei Nachkommastellen).
- Ermitteln Sie die Wendestellen.
- Begründen Sie, dass \(f\) einen kleinsten Funktionswert besitzt, und geben Sie ihn an.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Satz vom Nullprodukt.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(f'(x)=\left(-0{,}5x^{2}+2x+2\right)\,e^{-0{,}5x}\).
Hinweis zu Aufgabe c)
\(f''(x)=\left(0{,}25x^{2}-2x+1\right)\,e^{-0{,}5x}\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Vergleiche den Tiefpunkt mit dem Grenzverhalten.