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Aufgabenblock — AFB I
Zehn Standardaufgaben zum Reproduzieren: ableiten, umformen, Gleichungen mit ln lösen, Terme lesen — auch logistische. Das sind die sicheren Punkte in jeder Klausur zur e-Funktion.
A1
Ableitung mit Summand
AFB IBerechnen Sie die Steigung des Graphen von \(f(x)=3e^{x}+x^{2}\) an der Stelle \(x=0\).
Ableitung: \((e^{x})'=e^{x}\) und \((x^{2})'=2x\); Faktor und Summe wie gewohnt.
Lösung anzeigen
\(f'(x)=3e^{x}+2x\), \(f'(0)=3\cdot1+0\) = 3
A2
Kettenregel an einer Stelle
AFB IBestimmen Sie \(f'(1)\) für \(f(x)=e^{x^{2}-1}\).
Kettenregel: \(\left(e^{v(x)}\right)'=v'(x)\cdot e^{v(x)}\), hier \(v(x)=x^{2}-1\) und \(v'(x)=2x\).
Lösung anzeigen
\(f'(x)=2x\,e^{x^{2}-1}\), \(f'(1)=2\cdot e^{0}\) = 2
A3
ln und e heben sich auf
AFB IGeben Sie die Werte ohne Rechner an: a) \(\ln\left(e^{3}\right)\) b) \(e^{\ln7}\)
Umkehrung: \(\ln(e^{x})=x\) und \(e^{\ln y}=y\) für \(y>0\).
Lösung anzeigen
a) \(\ln e^{3}=3\), b) \(e^{\ln7}=7\) → 3 und 7