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Eine Infusion
AFB IIEin Patient erhält eine Infusion mit \(2\) mg Wirkstoff pro Minute. Gleichzeitig baut der Körper pro Minute \(10\,\%\) der vorhandenen Menge ab. Für die Wirkstoffmenge \(m(t)\) (mg, \(t\) in min) gilt \(m'(t)=2-0{,}1\cdot m(t)\), \(m(0)=0\).
- Erläutern Sie die beiden Summanden der Differentialgleichung.
- Zeigen Sie, dass \(m(t)=20-20e^{-0{,}1t}\) die DGL mit dem Anfangswert löst.
- Bestimmen Sie den langfristigen Wert und die Zeit, bis \(18\) mg erreicht sind.
- Nach 30 Minuten wird die Infusion beendet. Ermitteln Sie, wann weniger als \(5\) mg im Körper sind.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Zufuhr und Abbau.
Hinweis zu Aufgabe b)
Getrennt ableiten und einsetzen; \(m(0)\) prüfen.
Hinweis zu Aufgabe c)
\(e^{-0{,}1t}\to0\); \(20e^{-0{,}1t}=2\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Ab \(t=30\) gilt \(m'=-0{,}1m\) mit Startwert \(m(30)\).