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Übungsaufgaben
Dreißig Übungen zu \(e\) und \(e^{x}\) — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen die gestuften Tipps.
A1
Steckbrief der e-Funktion
AFB IEs geht um \(f(x)=e^{x}\). Gib alle zutreffenden Aussagen an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
\(e^{x}\) nähert sich für \(x\to-\infty\) der \(x\)-Achse, bleibt aber positiv. Die Potenzregel gilt nicht, weil die Variable im Exponenten steht.
Denke an den Graphen: Wo liegt er, wie ist er gekrümmt, wo schneidet er die \(y\)-Achse?
\(f''(x)=e^{x}>0\) — was folgt daraus für die Krümmung?
A2
Stimmt's? — Rund um e
AFB IFünf Behauptungen zur natürlichen Exponentialfunktion.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Nur bei der Basis e ist der Faktor k genau 1. Kleinere Basen liefern k < 1, größere k > 1.
Unterscheide: Steht \(x\) im Exponenten oder ist der Term eine Konstante?
Vergleiche die Basis mit \(e\approx2{,}718\).
A3
Annäherung an e
AFB IBerechne \(\left(1+\frac1n\right)^{n}\) auf vier Nachkommastellen.
Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
| n | 2 | 5 | 10 | 100 | 10 000 |
|---|---|---|---|---|---|
| (1 + 1/n)ⁿ |
Die Werte wachsen, aber immer langsamer — sie nähern sich \(e=2{,}71828\ldots\) Schon für \(n=10\,000\) stimmen drei Nachkommastellen.
Am Rechner:
(1+1÷n)^n — Klammern nicht vergessen.Für \(n=2\): \(1{,}5^{2}=2{,}25\).