MINT üben

Die Basis e

Tangenten, Zinsen und eine besondere Zahl.

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Tangenten an die e-Funktion

AFB I–II

Gegeben ist \(f(x)=e^{x}\).

e-Funktion und zwei Tangenten
246−3−2−112xyf(x) = eˣy = x + 1y = e · x
Graph von \(e^{x}\) mit den Tangenten in \(x=0\) (grün) und \(x=1\) (orange).
  1. Weisen Sie nach, dass \(g(x)=x+1\) die Tangente an den Graphen von \(f\) im Punkt \((0\,|\,1)\) ist.
  2. Begründen Sie anhand der Krümmung, dass \(e^{x}\ge x+1\) für alle \(x\) gilt.
  3. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an der Stelle \(x=1\) und zeigen Sie, dass sie durch den Ursprung verläuft.
  4. Leiten Sie her, dass jede Tangente an den Graphen von \(f\) die \(x\)-Achse genau eine Einheit links vom Berührpunkt schneidet.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Prüfe Funktionswert und Steigung bei \(x=0\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Bei einem linksgekrümmten Graphen liegen alle Tangenten unterhalb des Graphen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Tangentengleichung \(y=f'(1)\,(x-1)+f(1)\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Stelle die Tangente an der allgemeinen Stelle \(u\) auf und setze \(y=0\).