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Mit dem Zufall rechnen

Zehn Aufgaben mit Sachkontext — hier müssen Tafel, Baum, Kenngrößen und Binomialverteilung zusammenspielen.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Aufgaben, in denen mehrere Schritte zusammenkommen: Baum umkehren, Unabhängigkeit prüfen, Spiele bewerten, Bernoulli-Ketten auswerten. Die Tipps stufen den Weg ab.

A1
Ausschuss aus zwei Maschinen
AFB II

Maschine M1 fertigt 70 % der Teile, Maschine M2 den Rest. M1 produziert 2 % Ausschuss, M2 5 %.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Teil Ausschuss ist. b) Ein Teil ist Ausschuss. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es von M2 stammt.

Ansatz: Baum: erste Stufe Maschine, zweite Stufe Ausschuss \(A\).
Rechenweg: \(0{,}7\cdot0{,}02=0{,}014\), \(0{,}3\cdot0{,}05=0{,}015\); b) \(\tfrac{0{,}015}{0{,}029}\).
Lösung: a) 0,029 b) ≈ 0,52
Vollständige Lösung
a) \(P(A)=0{,}014+0{,}015=0{,}029\). b) \(P_A(M2)=\dfrac{0{,}015}{0{,}029}\approx0{,}52\). Obwohl M2 nur 30 % fertigt, stammt über die Hälfte des Ausschusses von M2.
A2
Kaffee und Frühaufsteher
AFB II

Von 200 Befragten trinken 120 morgens Kaffee (\(K\)), 80 sind Frühaufsteher (\(F\)), 48 sind beides.

a) Berechne \(P_F(K)\). b) Berechne \(P(K)\). c) Gib \(P(K)\cdot P(F)\) an und entscheide, ob \(K\) und \(F\) unabhängig sind.

Ansatz: Anteil der Kaffeetrinker unter den Frühaufstehern mit dem Anteil unter allen vergleichen.
Rechenweg: \(\tfrac{48}{80}\), \(\tfrac{120}{200}\), \(0{,}6\cdot0{,}4\) und mit \(P(K\cap F)=\tfrac{48}{200}\) vergleichen.
Lösung: a) 0,6 b) 0,6 c) 0,24 = P(K ∩ F) → unabhängig
Vollständige Lösung
\(P_F(K)=\tfrac{48}{80}=0{,}6=P(K)\). Außerdem \(P(K)\cdot P(F)=0{,}6\cdot0{,}4=0{,}24=\tfrac{48}{200}=P(K\cap F)\). Die Ereignisse sind stochastisch unabhängig.
A3
Zwei gleiche Farben
AFB II

Eine Urne enthält 3 rote und 5 grüne Kugeln. Es werden zwei Kugeln gezogen.

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit für zwei gleiche Farben ohne Zurücklegen. b) Berechne sie mit Zurücklegen.

Ansatz: „gleiche Farbe“ = rot-rot oder grün-grün; beide Pfade addieren.
Rechenweg: ohne: \(\tfrac38\cdot\tfrac27+\tfrac58\cdot\tfrac47\); mit: \(\left(\tfrac38\right)^2+\left(\tfrac58\right)^2\).
Lösung: a) 26/56 ≈ 0,46 b) 34/64 ≈ 0,53
Vollständige Lösung
a) \(\tfrac{6}{56}+\tfrac{20}{56}=\tfrac{26}{56}\approx0{,}46\). b) \(\tfrac{9}{64}+\tfrac{25}{64}=\tfrac{34}{64}\approx0{,}53\). Ohne Zurücklegen sinkt die Chance auf gleiche Farben.