Erwartungswert und Streuung: Übungen – Mathe Klasse 13

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Übungsaufgaben

Dreißig Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

Was sagen μ und σ?

AFB I

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße \(X\) mit den Parametern \(n\) und \(p\) gilt \(\mu=n\cdot p\) und \(\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}\). Gib alle richtigen Aussagen an.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

\(\mu\) ist ein Mittelwert und darf z. B. \(7{,}5\) sein. \(\sigma\) wächst nur wie \(\sqrt n\): Doppeltes \(n\) liefert den Faktor \(\sqrt2\approx1{,}41\), nicht 2. Weil \(p(1-p)\) symmetrisch in \(p\) und \(1-p\) ist, haben beide Verteilungen dasselbe \(\sigma\).

Frage: Welche Größe steht unter der Wurzel?Alles, was unter der Wurzel steht, wirkt auf \(\sigma\) nur abgeschwächt.

Hilfe: Setze für die Aussage mit \(2n\) ein: \(\sqrt{2n\,p(1-p)}=\sqrt2\cdot\sqrt{n\,p(1-p)}\).

Stimmt's? — Paketzustellung

AFB I

Ein Zusteller hat 40 Pakete dabei. Jedes Paket kann er unabhängig von den anderen mit der Wahrscheinlichkeit \(0{,}9\) beim ersten Versuch zustellen. Beurteile die fünf Behauptungen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Zwei klassische Fehler: den Erwartungswert als sicheres Ergebnis lesen und die Wurzel vergessen. Die Varianz \(3{,}6\) hat die Einheit „Pakete²“ — erst \(\sigma\approx1{,}90\) ist wieder eine Anzahl von Paketen.

Frage: Ist \(\mu\) eine Vorhersage für einen Tag oder ein Mittelwert?Der Erwartungswert beschreibt das Verhalten auf lange Sicht.

Hilfe: \(n=40\), \(p=0{,}9\), \(n\cdot p\cdot(1-p)=3{,}6\).

Lückentext: warum n · p?

AFB I

Beschreibe die Herleitung des Erwartungswerts und die Bedeutung der Streuung mit Fachbegriffen — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Eine einzelne der Kette liefert 0 oder 1 Treffer; im Mittel ergibt sie die \(p\). Die Trefferzahl \(X\) ist die der Treffer aller \(n\) Stufen, deshalb ist ihr gleich \(n\cdot p\). Wie weit \(X\) typischerweise davon abweicht, misst die \(\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}\).

„Varianz“ bleibt übrig: Die Varianz ist \(n\cdot p\cdot(1-p)\) ohne Wurzel. Wer beide Begriffe gleichsetzt, gibt in Aufgaben oft den Wert unter der Wurzel als Streuung an.

Idee: Gehe die Herleitung von einer Stufe zur ganzen Kette.Erst eine Stufe, dann die Summe über alle Stufen, dann die Streuung.

Hilfe: Achte in der letzten Lücke auf die Wurzel in der Formel.