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Ersatzmodule für den Solarpark
AFB I–IIEin Solarpark besteht aus 320 baugleichen Modulen. Der Hersteller gibt an, dass jedes Modul unabhängig von den anderen mit einer Wahrscheinlichkeit von 2,5 % innerhalb des ersten Betriebsjahres ausfällt. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der im ersten Jahr ausgefallenen Module; sie wird als binomialverteilt angenommen.
- Geben Sie die Parameter \(n\) und \(p\) an und berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung von \(X\).
- Interpretieren Sie den Erwartungswert im Sachzusammenhang.
- Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass im ersten Jahr höchstens 8 Module bzw. mehr als 12 Module ausfallen.
- Der Betreiber hält genau 8 Ersatzmodule vorrätig. Begründen Sie, dass dieser Vorrat oft nicht ausreicht, und ermitteln Sie, wie viele Ersatzmodule mindestens nötig sind, damit der Vorrat mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit reicht.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
\(n\) ist die Anzahl der Module, \(p\) die Ausfallwahrscheinlichkeit eines einzelnen Moduls. Achten Sie bei \(\sigma\) auf die Wurzel.
Hinweis zu Aufgabe b)
Formulieren Sie, was „im Mittel“ hier bedeutet — bezogen auf viele Betriebsjahre oder viele gleichartige Parks.
Hinweis zu Aufgabe c)
Beide Anfragen lassen sich auf „höchstens“ zurückführen: \(P(X>12)=1-P(X\le12)\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Ein Vorrat von 8 reicht genau dann, wenn \(X\le8\). Erhöhen Sie danach die Grenze \(k\) schrittweise, bis \(P(X\le k)\ge0{,}95\) gilt.Begründen: Aussage mit einer Wahrscheinlichkeit stützen.