MINT üben

Die Bernoulli-Formel

Wie viele Pfade, wie wahrscheinlich ist einer — die Bernoulli-Formel Faktor für Faktor.

Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
1

Übungsaufgaben

Dreißig Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

A1
Welcher Term passt?
AFB I

\(X\) ist binomialverteilt mit \(n=7\) und \(p=0{,}2\). Gib alle Terme an, die \(P(X=3)\) ergeben.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
\(0{,}2^3\cdot0{,}8^4\) ist nur ein Pfad — der Binomialkoeffizient fehlt. \(\binom74=\binom73=35\), deshalb passt auch der dritte Term. Bei \(0{,}8^3\cdot0{,}2^4\) sind Treffer und Nieten vertauscht, und bei \(0{,}8^3\) ergeben die Exponenten nur 6 statt 7.
Prüfliste: Anzahl der Pfade? \(p\) hoch Trefferzahl? \(1-p\) hoch Nietenzahl?Die Exponenten müssen zusammen \(n\) ergeben.
Hilfe: \(\binom73=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=35\), \(0{,}2^3=0{,}008\), \(0{,}8^4=0{,}4096\).
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB I

Fünf Behauptungen zu Binomialkoeffizient und Bernoulli-Formel. Entscheide, ob sie stimmen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Aussage 1 von 5

\(\binom63\) wird oft mit \(6\) oder mit \(6\cdot3\) verwechselt. Tatsächlich zählt er, auf wie viele Arten man 3 der 6 Stufen für die Treffer auswählen kann: \(\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=20\).
Frage: Wie viele Pfade gibt es ohne jeden Treffer?Nur einen: lauter Nieten.
Hilfe: Auf dem GTR: OPTN, F6, F3 (PROB), F3 (nCr), z. B. 6 nCr 3.
A3
Lückentext: die drei Faktoren
AFB I

Beschreibe die Bedeutung der Faktoren in \(P(X=k)=\binom nk\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}\) — ein Baustein bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Der Binomialkoeffizient \(\binom nk\) gibt die mit genau \(k\) Treffern an. Der Faktor \(p^k\) steht für die , der Faktor \((1-p)^{n-k}\) für die . Alle diese Pfade sind gleich wahrscheinlich, weil sich nur die von \(T\) und \(N\) unterscheidet. Deshalb darf man, statt viele gleiche Summanden zu addieren, .

„Anzahl der Stufen“ bleibt übrig: Das ist \(n\) — und \(n\) ist gerade nicht die Anzahl der passenden Pfade. Wer \(\binom nk\) durch \(n\) ersetzt, zählt viel zu wenige Pfade.
Idee: Lies den Term von links nach rechts.Erst „wie viele Pfade“, dann „wie wahrscheinlich ist einer“.
Hilfe: Gleiche Summanden addieren = Anzahl mal Summand.