Die Bernoulli-Kette: Übungen – Mathe Klasse 13

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Übungsaufgaben

Dreißig Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.

Kette oder nicht?

AFB I

Nicht jede Wiederholung eines Zufallsexperiments ist eine Bernoulli-Kette. Gib alle Vorgänge an, die sich als Bernoulli-Kette modellieren lassen.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

Ohne Zurücklegen ändert sich \(p\) von Zug zu Zug (Herz: erst \(\tfrac{8}{32}\), danach \(\tfrac{7}{31}\) oder \(\tfrac{8}{31}\)). Eine Temperatur hat viele Ergebnisse statt zwei, und „bis zur ersten Eins“ hat keine feste Länge \(n\). Bei den Fahrgästen ist die Gesamtheit so groß, dass \(p\) praktisch gleich bleibt.

Prüfliste: zwei Ergebnisse? feste Anzahl \(n\)? gleiches \(p\) in jeder Stufe?Nur wenn alle drei Fragen mit Ja beantwortet werden, liegt eine Bernoulli-Kette vor.

Hilfe: Achte auf „ohne Zurücklegen“ und auf „so lange, bis“ — beide verletzen eine Bedingung.

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Fünf Behauptungen über Bernoulli-Experimente und -Ketten. Entscheide jeweils, ob sie stimmen.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Die häufigste Verwechslung: \(2\cdot n\) statt \(2^n\) Pfade. Jede neue Stufe hängt an jedes bisherige Pfadende zwei Äste — die Anzahl verdoppelt sich also.

Frage: Was passiert mit der Anzahl der Pfade, wenn eine Stufe dazukommt?An jedes Pfadende werden zwei neue Äste gehängt.

Hilfe: \(n=1\): 2 Pfade, \(n=2\): 4 Pfade, \(n=3\): 8 Pfade …

Lückentext mit Wortbank

AFB I

Beschreibe mit den Fachbegriffen, was eine Bernoulli-Kette ausmacht — ein Baustein bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Ein Zufallsexperiment mit genau zwei Ergebnissen heißt . Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer bezeichnet man mit , die Niete hat dann die Wahrscheinlichkeit . Führt man dieses Experiment \(n\)-mal voneinander durch, sodass sich die Trefferwahrscheinlichkeit nicht ändert, entsteht eine .

„ohne Zurücklegen“ bleibt übrig: Genau dann ändert sich \(p\) von Stufe zu Stufe — die Durchführungen sind nicht mehr unabhängig, und es entsteht keine Bernoulli-Kette.

Idee: Vom Einzelversuch zur Kette — in dieser Reihenfolge ist der Text aufgebaut.Erst wird das einzelne Experiment beschrieben, dann seine Wiederholung.

Hilfe: Die Niete ist das Gegenereignis des Treffers.