Aufgabenblock — AFB III
Begründen, beurteilen, nachweisen: Hier zählt das Argument. Versuche jede Aufgabe erst selbst, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründe, dass für eine stetige Zufallsgröße P(X = a) = 0 gilt, obwohl der Wert a vorkommen kann.
Hinweis: Denke an Wahrscheinlichkeit als Fläche.
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Musterlösung: Bei stetigen Zufallsgrößen ist eine Wahrscheinlichkeit die Fläche unter der Dichte über einem Intervall. Über dem „Intervall“ [a; a] hat die Fläche die Breite 0, also ist P(X = a) = ∫ₐᵃ f(x) dx = 0. „Möglich“ und „Wahrscheinlichkeit größer als 0“ fallen hier auseinander: Nur Intervalle positiver Länge haben positive Wahrscheinlichkeit.
Beurteile die Aussage: „Verdoppelt man den Stichprobenumfang, wird die 95 %-Umgebung für den Anteil halb so breit.“
Hinweis: Untersuche, wie n in der Formel steht.
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Musterlösung: Die halbe Breite ist 1,96 · √(p(1 − p) : n). Bei 2n wird sie mit 1 : √2 ≈ 0,71 multipliziert — sie sinkt nur um etwa 29 %. Halbiert wird die Breite erst bei vierfachem Umfang. Die Aussage ist falsch.
Weise nach, dass die Dichte der Normalverteilung ihre Wendestellen bei μ − σ und μ + σ hat.
Hinweis: Leite f zweimal ab (Kettenregel), der Vorfaktor spielt keine Rolle.
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Musterlösung: Mit c = 1 : (σ√(2π)) gilt f′(x) = −c · (x − μ) : σ² · e^(−(x−μ)²/(2σ²)) und f″(x) = c · e^(−(x−μ)²/(2σ²)) · ((x − μ)² : σ⁴ − 1 : σ²). Da die e-Funktion nie 0 ist, gilt f″(x) = 0 ⇔ (x − μ)² = σ² ⇔ x = μ ± σ. An beiden Stellen wechselt der Klammerterm das Vorzeichen, also liegen Wendestellen vor.