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Aufgabenblock — AFB II
Zehn Sachaufgaben: Erst das Modell aufstellen, dann mit Rechner, σ-Regeln und Umgebungen arbeiten — vom Apfel bis zur Wahlumfrage.
A1
Äpfel sortieren
AFB IIDie Masse X von Äpfeln einer Sorte ist normalverteilt mit μ = 180 g und σ = 20 g.
a) Berechne den Anteil der Äpfel unter 150 g. b) Berechne den Anteil der Äpfel zwischen 170 g und 210 g (je vier Nachkommastellen).
Ansatz: X: Masse in g, X ~ N(180; 20²).
Rechenweg: a) Ncd Lower −1E99, Upper 150; b) Lower 170, Upper 210.
Lösung: a) 0,0668 b) 0,6247
Vollständige Lösung
a) P(X < 150) = normCdf(−∞; 150; 180; 20) ≈ 0,0668 — rund 6,7 % sind zu leicht. b) P(170 ≤ X ≤ 210) ≈ 0,9332 − 0,3085 = 0,6247.
A2
Füllmenge
AFB IIEine Anlage füllt Flaschen mit μ = 1000 ml und σ = 5 ml.
a) Wie groß ist der Anteil der Flaschen mit weniger als 990 ml? b) Welche Füllmenge wird von 99 % der Flaschen mindestens erreicht (zwei Nachkommastellen)?
Ansatz: a) Fläche links von 990; b) 1 % liegen darunter.
Rechenweg: b) invNorm(0,01; 1000; 5).
Lösung: a) 0,0228 b) 988,37 ml
Vollständige Lösung
a) 990 liegt 2σ unter μ: P ≈ 0,0228. b) Gesucht ist x mit P(X ≤ x) = 0,01: x = invNorm(0,01; 1000; 5) ≈ 988,37 ml.
A3
Laplace-Bedingung prüfen
AFB IIEine Bernoulli-Kette hat die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,1.
a) Berechne σ für n = 50 (vier Nachkommastellen). b) Bestimme das kleinste n, für das die Laplace-Bedingung σ > 3 erfüllt ist.
Ansatz: σ = √(n · 0,1 · 0,9) = √(0,09 · n).
Rechenweg: b) 0,09 · n > 9 ⇔ n > 100.
Lösung: a) 2,1213 b) 101
Vollständige Lösung
a) σ = √4,5 ≈ 2,1213 < 3 — Näherung ungeeignet. b) σ > 3 ⇔ 0,09 · n > 9 ⇔ n > 100, also n = 101.