MINT üben

Kurvenanpassung und Scharen

Zehn Aufgaben zum Begründen, Beweisen und Beurteilen — hier zählt das Argument, nicht nur die Zahl.

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Aufgabenblock — AFB III

Begründen statt nur rechnen: Aussagen über Symmetrie, Nahtstellen und Scharen prüfen, beweisen und Modelle beurteilen. Formuliere deine Antwort erst selbst in ganzen Sätzen, bevor du die Musterlösung aufklappst.

A1
Gerade Exponenten
AFB III

Beurteile die Aussage: „Eine ganzrationale Funktion ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn ihr Term nur gerade Exponenten enthält.“

Hinweis: „genau dann“ verlangt zwei Richtungen.

Beide Richtungen einzeln prüfen: gerade Exponenten ⇒ symmetrisch und symmetrisch ⇒ gerade Exponenten.Warum so? Eine Äquivalenz ist erst gezeigt, wenn beide Richtungen stimmen.
f(−x) = f(x) für alle x; die ungeraden Anteile u(x) erfüllen u(−x) = −u(x), also muss 2u(x) = 0 gelten.Warum so? Ein Polynom, das überall 0 ist, hat nur Nullkoeffizienten.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Richtung 1: Bei nur geraden Exponenten gilt (−x)2n = x2n, also f(−x) = f(x). Richtung 2: Zerlege f = g + u in geraden und ungeraden Anteil. Aus f(−x) = f(x) folgt g(x) − u(x) = g(x) + u(x), also u(x) = 0 für alle x — alle ungeraden Koeffizienten sind null. Die Aussage ist richtig.

A2
Periodisch und ganzrational?
AFB III

Begründe, dass eine nicht konstante ganzrationale Funktion nicht periodisch sein kann.

Hinweis: Was passiert mit f(x) für |x| → ∞?

Das Verhalten im Unendlichen mit f(x + p) = f(x) vergleichen.Warum so? Eine periodische Funktion wiederholt ihre Werte und bleibt daher beschränkt, wenn sie stetig ist.
Periodisch + stetig ⇒ beschränkt auf [0; p] und damit überall; ganzrational vom Grad ≥ 1 ⇒ |f(x)| → ∞.Warum so? Ein Widerspruch zeigt, dass die Annahme falsch ist.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Wäre f periodisch mit Periode p, nähme f auf ganz ℝ nur die Werte an, die es auf [0; p] annimmt. Dort ist f stetig, also beschränkt — damit wäre f überall beschränkt. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n ≥ 1 verhält sich für |x| → ∞ wie aₙxⁿ und wächst betragsmäßig über alle Grenzen. Widerspruch: Nur konstante ganzrationale Funktionen sind periodisch.

A3
Drei Bedingungen, eine Parabel?
AFB III

Beurteile: „Drei Bedingungen legen immer genau eine Parabel f(x) = ax² + bx + c fest.“

Hinweis: Suche Bedingungen, die sich widersprechen oder wiederholen.

Ein Gegenbeispiel mit widersprüchlichen und eines mit abhängigen Bedingungen suchen.Warum so? Eine Allaussage fällt durch ein einziges Gegenbeispiel.
f′(0) = 0, f′(1) = 0 → 2a = 0; dazu f(0) = 1: a = 0, b = 0 — keine Parabel. Oder f(0) = 1, f(0) = 2 → Widerspruch.Warum so? Das LGS entscheidet: Stufenform mit 0 = 0 oder 0 = c.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Die Aussage ist falsch. „Waagerechte Tangente bei 0 und bei 1“ liefert b = 0 und 2a + b = 0, also a = 0 — mit f(0) = 1 entsteht die Gerade y = 1, keine Parabel. Widersprüchliche Bedingungen wie f(1) = 2 und f(1) = 3 ergeben eine Zeile 0 = 1: keine Lösung. Richtig ist: Drei voneinander unabhängige, widerspruchsfreie Bedingungen legen die Koeffizienten eindeutig fest.