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Aufgabenblock — AFB II
Zehn Aufgaben aus dem ganzen Kapitel: Bedingungen aufstellen, LGS von Hand oder mit dem GTR lösen, Nahtstellen und Scharen untersuchen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.
A1
Symmetrischer Steckbrief
AFB IIDer Graph einer Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse bei 2 und hat den Tiefpunkt T(1 | 0). Stelle die Bedingungen auf. a) Gib a an. b) Berechne f(2).
Ansatz: Symmetrie verkleinert den Ansatz: f(x) = ax⁴ + bx² + c; f(0) = 2, f(1) = 0, f′(1) = 0.
Rechenweg: c = 2; a + b = −2; 4a + 2b = 0 → b = −2a → −a = −2.
Lösung: a) 2 b) 18
Vollständige Lösung
c = 2, I: a + b + 2 = 0, II: f′(1) = 4a + 2b = 0 → b = −2a; in I: a − 2a = −2 → a = 2, b = −4. f(x) = 2x⁴ − 4x² + 2, f(2) = 32 − 16 + 2 = 18. Hinweis: Die Symmetrie ist keine eigene Gleichung — sie streicht x³ und x aus dem Ansatz.
A2
Punktsymmetrisch mit Hochpunkt
AFB IIEine Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat den Hochpunkt H(−1 | 2). a) Bestimme a in f(x) = ax³ + cx. b) Berechne f(2).
Ansatz: f(x) = ax³ + cx, zwei Bedingungen: f(−1) = 2, f′(−1) = 0.
Rechenweg: −a − c = 2; 3a + c = 0 → c = −3a → 2a = 2.
Lösung: a) 1 b) 2
Vollständige Lösung
f(−1) = −a − c = 2 und f′(−1) = 3a + c = 0. Addieren: 2a = 2 → a = 1, c = −3. f(x) = x³ − 3x, f(2) = 8 − 6 = 2. Wegen der Symmetrie liegt bei (1 | −2) der Tiefpunkt.
A3
Gauß mit drei Punkten
AFB IIDie Parabel f(x) = ax² + bx + c geht durch (−1 | 6), (1 | 2) und (2 | 3). Löse das LGS mit dem Gauß-Verfahren. a) a = ? b) c = ?
Ansatz: I: a − b + c = 6, II: a + b + c = 2, III: 4a + 2b + c = 3.
Rechenweg: II − I: 2b = −4 → b = −2; dann I: a + c = 4, III: 4a + c = 7.
Lösung: a) 1 b) 3
Vollständige Lösung
II − I: 2b = −4 → b = −2. I wird a + c = 4, III wird 4a + c = 7; Subtraktion: 3a = 3 → a = 1, c = 3. f(x) = x² − 2x + 3. Probe: f(2) = 4 − 4 + 3 = 3 ✓