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Eine Schar dritten Grades
AFB I–IIGegeben ist fk(x) = x³ − kx² + (k − 1) · x mit k ∈ ℝ.
- Berechne die gemeinsamen Punkte aller Graphen.
- Zeige, dass sich die Graphen im Punkt (1 | 0) unter verschiedenen Steigungen schneiden.
- Bestimme k so, dass der Graph die x-Achse im Punkt (1 | 0) berührt.
- Zerlege fk(x) in Linearfaktoren und gib die Nullstellen in Abhängigkeit von k an.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Nach k ordnen: fk(x) = x³ − x + k(x − x²).
Hinweis zu Aufgabe b)
fk′(1) berechnen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Berühren: fk′(1) = 0.
Hinweis zu Aufgabe d)
x ausklammern, Restterm hat die Nullstelle 1.