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Übungsaufgaben
Dreißig Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Uneigentliche Integrale
AFB IGib alle richtigen Aussagen an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die Fläche unter 1/x ist trotz f → 0 unendlich, die unter e−x endlich. ∞ ist keine Zahl — man bildet einen Grenzwert.
Frage: Was ist das „Uneigentliche“ an diesen Integralen?Warum? Eine Grenze ist unendlich oder f ist dort nicht definiert.
Hilfe: Denke an 1/x und e−x.
A2
Nach rechts ins Unendliche
AFB IBerechne ∫1∞ 1/x³ dx.
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
∫1b x⁻³ dx = [−1/(2x²)]₁ᵇ = ½ − 1/(2b²) → ½ für b → ∞.
Ansatz: Erst bis b integrieren.Warum? Dann ist das Integral ein Term in b.
Hilfe: x⁻³ hat die Stammfunktion −½x⁻².
A3
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IFünf Behauptungen. Gib jeweils an, ob sie stimmt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Für Potenzen gilt eine Faustregel: nach rechts konvergent für r > 1, an der 0 für r < 1 — 1/x liegt genau auf der Grenze und divergiert in beide Richtungen.
Ansatz: Berechne probeweise ∫1b x^(−r) dx.Warum? Daraus liest man die Regel ab.
Hilfe: b^(1 − r) → 0, wenn 1 − r < 0.