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Die Fläche unter 8/x³
AFB I–IIGegeben ist \(f(x)=\dfrac8{x^3}\) für \(x\ge1\).
Graph von f
- Berechnen Sie \(\int_1^bf(x)\,\mathrm dx\) für \(b>1\).
- Ermitteln Sie den Inhalt der unbegrenzten Fläche unter dem Graphen für \(x\ge1\).
- Bestimmen Sie \(b\) so, dass die Fläche über \([1;b]\) 99 % der Gesamtfläche beträgt.
- Zeigen Sie, dass der unbegrenzte Körper, der bei Rotation des Graphen um die \(x\)-Achse entsteht, ein endliches Volumen hat, und geben Sie es an.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Stammfunktion \(-\tfrac4{x^2}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Grenzwert \(b\to\infty\).
Hinweis zu Aufgabe c)
\(4-\tfrac4{b^2}=3{,}96\).
Hinweis zu Aufgabe d)
\(f^2=\tfrac{64}{x^6}\).