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Aufgabenblock — AFB I
Zehn Standardaufgaben quer durch das Kapitel — bunt gemischt statt nach Unterkapiteln sortiert: Graphen lesen, Rechteckflächen, Unter- und Obersumme, Stammfunktionen und Hauptsatz. Das sind die sicheren Punkte in jeder Klausur zur Integralrechnung.
A1
Extremstellen des Bestands am Ratengraphen
AFB IDer Graph zeigt die Zuflussrate \(r\) eines Wasserbeckens. Entnehmen Sie dem Graphen, zu welchen Zeitpunkten im Intervall \(]0;7[\) die Wassermenge \(B\) ein lokales Minimum bzw. ein lokales Maximum hat.
h
h
Rate und Bestand: \(r=B'\). Wo \(r\) das Vorzeichen wechselt, hat \(B\) eine Extremstelle.
Bei \(t=1\) wechselt \(r\) von \(-\) nach \(+\), bei \(t=5\) von \(+\) nach \(-\). Welcher Wechsel gehört zu einem Maximum?
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Bis \(t=1\) fließt Wasser ab (\(r<0\)), danach zu: Minimum bei \(t=1\). Ab \(t=5\) ist \(r<0\), der Bestand fällt wieder: Maximum bei \(t=5\). → Min. bei t = 1 h, Max. bei t = 5 h
Zuflussrate \(r(t)\) in \(\mathrm{m^3/h}\), \(t\) in h
A2
Stammfunktion mit Potenzregel
AFB IGegeben ist \(f(x)=6x^2-4x+1\). Geben Sie die Stammfunktion \(F\) von \(f\) mit \(F(0)=0\) an und den Wert \(F(2)\).
Potenzregel: \(x^n\) hat die Stammfunktion \(\tfrac{1}{n+1}x^{n+1}\); eine Konstante \(k\) hat die Stammfunktion \(kx\).
\(F(x)=2x^3-2x^2+x+C\). Aus \(F(0)=0\) folgt \(C=0\). Setze \(x=2\) ein.
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\(F(x)=2x^3-2x^2+x\), \(F(2)=16-8+2\) = 10
A3
Untersumme und Obersumme mit vier Streifen
AFB IBestimmen Sie für \(f(x)=x^2\) auf \([0;2]\) die Untersumme \(U_4\) und die Obersumme \(O_4\).
Streifenbreite: \(\Delta x=\tfrac{b-a}{n}=0{,}5\). \(f\) steigt, also liefern die linken Stützstellen \(U_4\), die rechten \(O_4\).
\(U_4=0{,}5\cdot\big(f(0)+f(0{,}5)+f(1)+f(1{,}5)\big)\), \(O_4=0{,}5\cdot\big(f(0{,}5)+f(1)+f(1{,}5)+f(2)\big)\).
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\(U_4=0{,}5\cdot(0+0{,}25+1+2{,}25)=1{,}75\); \(O_4=0{,}5\cdot(0{,}25+1+2{,}25+4)=3{,}75\) → 1,75 ≤ Fläche ≤ 3,75
\(f(x)=x^2\) auf \([0;2]\), vier Streifen