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Wirkstoff im Blut
AFB I–IINach einer Injektion wird ein Wirkstoff abgebaut. Die Änderungsrate der Wirkstoffmenge ist \(r(t)=-12\,e^{-0{,}4t}\) (in mg/h, \(t\) in h). Zu Beginn sind 30 mg im Blut.
- Zeigen Sie, dass \(M(t)=30\,e^{-0{,}4t}\) die Wirkstoffmenge beschreibt.
- Berechnen Sie die Menge nach 5 Stunden.
- Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem nur noch die Hälfte vorhanden ist.
- Begründen Sie, dass im Modell nie der ganze Wirkstoff abgebaut ist, und ermitteln Sie den insgesamt abgebauten Anteil nach 10 Stunden.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
\(M'=r\) und \(M(0)=30\) prüfen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Einsetzen.
Hinweis zu Aufgabe c)
\(e^{-0{,}4t}=0{,}5\).
Hinweis zu Aufgabe d)
\(e^{-0{,}4t}>0\).