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Übungsaufgaben
Dreißig Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Unter- und Obersumme
AFB If ist auf [a; b] streng monoton steigend und positiv. Gib alle richtigen Aussagen an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Bei steigendem f ist der linke Funktionswert jedes Streifens der kleinste — das Rechteck bleibt unter dem Graphen. Die Streifenbreite ist Δx = (b − a) : n.
Skizze: Zeichne einen steigenden Graphen und einen Streifen. Welche Höhe passt ganz unter den Graphen?Warum? So entscheidest du links oder rechts.
Hilfe: Breite = Intervalllänge geteilt durch Anzahl der Streifen.
A2
Untersumme mit vier Streifen
AFB IBerechne die Untersumme U4 für f(x) = x² + 1 auf [0; 2].
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
Δx = 0,5; linke Stützstellen 0; 0,5; 1; 1,5 mit f-Werten 1; 1,25; 2; 3,25. Summe 7,5 · 0,5 = 3,75. Häufiger Fehler: die rechte Stelle x = 2 mitnehmen — die gehört zur Obersumme.
Ansatz: U4 = Δx · (f(x₀) + f(x₁) + f(x₂) + f(x₃)) mit linken Stützstellen.Warum? f steigt auf [0; 2].
Hilfe: Δx = 2 : 4 = 0,5.
A3
Lückentext mit Wortbank
AFB IBeschreibe die Idee der Produktsumme — ein Wort bleibt übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Das Intervall [a; b] wird in n Streifen der Δx zerlegt. In jedem Streifen wählt man eine xᵢ. Jeder Streifen liefert das f(xᵢ) · Δx. Die aller Produkte nähert die Fläche an; für n → ∞ bildet man den .
„Ableitung“ bleibt übrig — sie kommt in diesem Verfahren nicht vor.
Idee: Das Wort „Produktsumme“ verrät zwei Lücken schon.Warum? Jede Streifenfläche ist ein Produkt, alle zusammen eine Summe.
Hilfe: Die Stelle, an der die Höhe gemessen wird, heißt Stützstelle.