MINT üben

ln-Funktion als Stammfunktion

Von der Hyperbel bis zum Gas im Zylinder: Integrale über 1/x.

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Integrale mit ln

AFB I–II

Gegeben ist \(f(x)=\dfrac2x+1\) für \(x\neq0\).

Graph von f
xy−6−5−4−3−2−112345−4−3−2−112345f
f(x) = 2/x + 1
  1. Geben Sie eine Stammfunktion von \(f\) für \(x>0\) an.
  2. Berechnen Sie \(\int_1^5 f(x)\,\mathrm dx\) exakt und auf drei Nachkommastellen.
  3. Zeigen Sie, dass \(F(x)=2\ln|x|+x\) auch für \(x<0\) Stammfunktion von \(f\) ist.
  4. Ermitteln Sie \(\int_{-3}^{-1}f(x)\,\mathrm dx\) und deuten Sie das Vorzeichen am Graphen.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Summandenweise.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(\ln1=0\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Für \(x<0\): \(\ln|x|=\ln(-x)\), Kettenregel.
Hinweis zu Aufgabe d)
Beträge in ln einsetzen.