Aufgabenblock — AFB III
Begründen, beurteilen, Verfahren entwickeln: Formuliere deine Antwort zuerst selbst, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründe: In \(n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d\) ist \((n_1|n_2|n_3)\) ein Normalenvektor der Ebene.
Hinweis: Nimm zwei Punkte \(X\), \(Y\) der Ebene.
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Musterlösung: Für zwei Punkte \(X,Y\in E\) gilt \(\vec n\cdot\vec x=d\) und \(\vec n\cdot\vec y=d\). Subtrahieren liefert \(\vec n\cdot(\vec y-\vec x)=0\). Da jeder Vektor, der in \(E\) liegt, als \(\overrightarrow{XY}\) geschrieben werden kann, steht \(\vec n\) senkrecht auf allen Richtungen der Ebene.
Zeige: Die Ebenen \(E\colon\vec n\cdot\vec x=d_1\) und \(F\colon\vec n\cdot\vec x=d_2\) mit \(d_1\ne d_2\) haben den Abstand \(\dfrac{|d_1-d_2|}{|\vec n|}\).
Hinweis: Wähle einen beliebigen Punkt \(P\) in \(F\).
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Musterlösung: Beide Ebenen haben denselben Normalenvektor, sind also parallel; wegen \(d_1\ne d_2\) sind sie verschieden. Für \(P\in F\) gilt \(\vec n\cdot\vec p=d_2\), also \(d(P,E)=\dfrac{|\vec n\cdot\vec p-d_1|}{|\vec n|}=\dfrac{|d_2-d_1|}{|\vec n|}\) — unabhängig von der Wahl von \(P\).
Ein Schüler behauptet: „Der Abstand von \(Q\) zur Geraden \(g\colon\vec x=\vec p+t\vec u\) ist \(|\overrightarrow{PQ}|\).“ Beurteile die Aussage.
Hinweis: Wann ist \(P\) selbst der Lotfußpunkt?
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: \(g\) ist die \(x_1\)-Achse mit Stützpunkt \(O\), \(Q(3|4|0)\). Dann ist \(|\overrightarrow{OQ}|=5\), der Lotfußpunkt ist aber \((3|0|0)\) und der Abstand 4. Richtig ist die Aussage nur, wenn \(\overrightarrow{PQ}\cdot\vec u=0\) gilt, \(P\) also zufällig der Lotfußpunkt ist; sonst ist \(|\overrightarrow{PQ}|\) nur eine obere Schranke.