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Aufgabenblock — AFB II
Zehn Aufgaben, in denen mehrere Verfahren zusammenkommen. Drei gestufte Tipps helfen beim Ansatz.
A1
Rechtwinkliges Dreieck
AFB IIGegeben ist das Dreieck \(A(1|0|2)\), \(B(3|2|3)\), \(C(0|2|0)\).
a) Berechne \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\). b) Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.
FE
Ansatz: Rechter Winkel mit dem Skalarprodukt suchen, dann \(A=\tfrac12\cdot\) Kathete · Kathete.
Rechenweg: \(\overrightarrow{AB}=(2|2|1)\), \(\overrightarrow{AC}=(-1|2|{-2})\), beide haben die Länge 3.
Lösung: a) 0 b) 4,5
Vollständige Lösung
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-2+4-2=0\): rechter Winkel bei \(A\). \(|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=3\), also \(A=\tfrac12\cdot3\cdot3=4{,}5\) FE.
A2
Ebene durch drei Punkte
AFB IIDie Ebene \(E\) geht durch \(A(1|0|1)\), \(B(2|1|1)\) und \(C(1|2|3)\).
Bestimme eine Koordinatengleichung \(x_1+n_2x_2+n_3x_3=d\). a) Gib \(n_2\) an. b) Gib \(d\) an.
Ansatz: Spannvektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) bilden, \(\vec n\) senkrecht zu beiden.
Rechenweg: \(\overrightarrow{AB}=(1|1|0)\), \(\overrightarrow{AC}=(0|2|2)\): \(n_1+n_2=0\), \(2n_2+2n_3=0\).
Lösung: a) −1 b) 2
Vollständige Lösung
Mit \(n_1=1\): \(n_2=-1\), \(n_3=1\), also \(\vec n=(1|{-1}|1)\). \(d=\vec n\cdot\vec a=1-0+1=2\): \(E\colon x_1-x_2+x_3=2\). Probe: \(B\): \(2-1+1=2\) ✓, \(C\): \(1-2+3=2\) ✓.
A3
Parallele Gerade
AFB IIGegeben sind \(E\colon 2x_1+x_2-x_3=4\) und \(g\colon\vec x=(1|1|0)+t\,(1|{-1}|1)\).
a) Berechne \(\vec u\cdot\vec n\). b) Zeige, dass \(g\parallel E\) ist, und berechne den Abstand von \(g\) zu \(E\) auf zwei Nachkommastellen.
LE
Ansatz: \(\vec u\cdot\vec n=0\) heißt parallel oder enthalten — Punktprobe mit dem Stützpunkt.
Rechenweg: \(\vec u\cdot\vec n=2-1-1=0\); Stützpunkt: \(2+1-0=3\ne4\).
Lösung: a) 0 b) 0,41
Vollständige Lösung
Einsetzen liefert \(2(1+t)+(1-t)-t=3\), also \(3=4\) — Widerspruch, \(g\) ist echt parallel. Abstand = Abstand des Stützpunkts: \(\dfrac{|2+1-0-4|}{\sqrt{6}}=\dfrac1{\sqrt6}\approx0{,}41\) LE.