Abiturvorbereitung: Übungen AFB III – Mathe Klasse 13

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Aufgabenblock — AFB III

Begründen, beurteilen, untersuchen: Formuliere eigene Argumente, bevor du die Musterlösung aufklappst — genau das verlangt der Anforderungsbereich III im Abitur.

Stammfunktion oder Integralfunktion?

AFB III

Begründe, dass jede Integralfunktion \(I_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, aber nicht jede Stammfunktion eine Integralfunktion.

Hinweis: Betrachte \(f(x)=2x\) und \(F(x)=x^2+1\).

Strategie: Hauptsatz für die eine Richtung, Gegenbeispiel für die andere.Warum so? Eine Allaussage widerlegt man mit einem einzigen Gegenbeispiel.

Lösungsskizze: \(I_a'=f\) nach dem Hauptsatz; \(I_a(a)=0\), aber \(x^2+1\) hat keine Nullstelle.

Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Nach dem Hauptsatz gilt \(I_a'(x)=f(x)\) — jede Integralfunktion ist also Stammfunktion. Umgekehrt hat jede Integralfunktion bei \(x=a\) die Nullstelle \(I_a(a)=0\). \(F(x)=x^2+1\) ist Stammfunktion von \(2x\), hat aber keine Nullstelle; also gibt es kein \(a\) mit \(F=I_a\).

Waagerechte Tangente

AFB III

Beurteile die Aussage: „Ist \(f'(x_0)=0\), dann hat \(f\) bei \(x_0\) einen Hoch- oder Tiefpunkt.“

Hinweis: Denke an \(f(x)=x^3\).

Strategie: Notwendige und hinreichende Bedingung trennen.Warum so? Eine notwendige Bedingung reicht für die Existenz nicht aus.

Lösungsskizze: \(f(x)=x^3\): \(f'(0)=0\), aber kein Vorzeichenwechsel von \(f'\).

Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Die Aussage ist falsch. \(f'(x_0)=0\) ist nur notwendig. Bei \(f(x)=x^3\) ist \(f'(0)=0\), aber \(f'(x)=3x^2\ge0\) wechselt das Vorzeichen nicht — bei \(x=0\) liegt ein Sattelpunkt. Hinreichend ist z. B. \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)\ne0\) oder ein Vorzeichenwechsel von \(f'\).

Ortskurve einer e-Schar

AFB III

Untersuche, wo die Hochpunkte der Schar \(f_t(x)=t\cdot x\cdot e^{-x}\) mit \(t>0\) liegen, und beschreibe ihre Ortskurve.

Hinweis: Leite mit der Produktregel ab; \(t\) ist ein konstanter Faktor.

Strategie: Extremstelle in Abhängigkeit von \(t\) bestimmen, dann \(x\) und \(y\) vergleichen.Warum so? Hängt \(x_E\) gar nicht von \(t\) ab, lässt sich nicht nach \(t\) auflösen.

Lösungsskizze: \(f_t'(x)=t\,e^{-x}(1-x)=0\Rightarrow x=1\); \(H_t(1\,|\,\tfrac te)\).

Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: \(f_t'(x)=t\,e^{-x}(1-x)\) ist nur für \(x=1\) null, mit Wechsel von \(+\) nach \(-\) (da \(t>0\)). Alle Hochpunkte \(H_t(1\,|\,\tfrac te)\) haben dieselbe \(x\)-Koordinate. Die Ortskurve ist also die senkrechte Gerade \(x=1\) (für \(y>0\)) — kein Funktionsgraph, weil man \(x=1\) nicht nach \(t\) auflösen kann.