Abiturvorbereitung: Übungen AFB II – Mathe Klasse 13

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben quer durch das Abitur: erst die Situation in Mathematik übersetzen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

Wasserbecken

AFB II

Der Zufluss in ein Becken wird für \(0\le t\le4\) durch \(r(t)=-3t^2+12t\) beschrieben (\(t\) in h, \(r\) in m³/h). Zu Beginn sind 10 m³ im Becken.

a) Bestimme den Zeitpunkt des stärksten Zuflusses. b) Berechne die Wassermenge nach 4 Stunden.

a) t = h

b) B(4) = m³

Ansatz: Stärkster Zufluss: Maximum von \(r\), also \(r'(t)=0\). Bestand: \(B(4)=B(0)+\int_0^4 r(t)\,dt\).

Rechenweg: \(r'(t)=-6t+12=0\Rightarrow t=2\); \(\int_0^4(-3t^2+12t)\,dt=\left[-t^3+6t^2\right]_0^4=32\).

Lösung: a) 2 h b) 42 m³

Vollständige Lösung

Der Zufluss ist maximal, wo \(r'(t)=-6t+12=0\), also nach \(t=2\) h (Hochpunkt, da \(r''=-6<0\)). Die Wassermenge ist \(B(4)=10+\int_0^4(-3t^2+12t)\,dt=10+(-64+96)=42\) m³.

Medikament im Blut

AFB II

Die Konzentration eines Wirkstoffs im Blut wird durch \(c(t)=20t\cdot e^{-0{,}5t}\) beschrieben (\(t\) in h, \(c\) in mg/l).

a) Bestimme den Zeitpunkt der höchsten Konzentration. b) Berechne diese Konzentration auf zwei Nachkommastellen.

a) t = h

b) c ≈ mg/l

Ansatz: Produktregel und Kettenregel: \(c'(t)=20e^{-0{,}5t}+20t\cdot(-0{,}5)e^{-0{,}5t}\).

Rechenweg: \(c'(t)=20e^{-0{,}5t}(1-0{,}5t)=0\Rightarrow t=2\); \(c(2)=40e^{-1}\).

Lösung: a) 2 h b) 14,72 mg/l

Vollständige Lösung

Mit Produkt- und Kettenregel ist \(c'(t)=20e^{-0{,}5t}\,(1-0{,}5t)\). Da \(e^{-0{,}5t}>0\), gilt \(c'(t)=0\) nur für \(t=2\); dort wechselt \(c'\) von \(+\) nach \(-\). Die höchste Konzentration ist \(c(2)=40\cdot e^{-1}\approx14{,}72\) mg/l.

Tee kühlt ab

AFB II

Die Temperatur einer Tasse Tee wird durch \(f(t)=20+70\,e^{-0{,}05t}\) beschrieben (\(t\) in min, \(f\) in °C).

a) Berechne die Temperatur nach 10 Minuten. b) Bestimme, wann der Tee nur noch 40 °C warm ist.

a) f(10) ≈ °C

b) t ≈ min

Ansatz: a) einsetzen. b) \(f(t)=40\) setzen, den e-Term isolieren und logarithmieren.

Rechenweg: \(70e^{-0{,}05t}=20\Rightarrow e^{-0{,}05t}=\tfrac27\Rightarrow t=\dfrac{\ln(3{,}5)}{0{,}05}\).

Lösung: a) 62,46 °C b) 25,06 min

Vollständige Lösung

a) \(f(10)=20+70e^{-0{,}5}\approx62{,}46\) °C. b) \(20+70e^{-0{,}05t}=40\iff e^{-0{,}05t}=\tfrac27\iff-0{,}05t=\ln\tfrac27\iff t=\dfrac{\ln3{,}5}{0{,}05}\approx25{,}06\) min.