Trigonometrie: Übungen AFB III – Mathe Klasse 9

Dein Fortschritt:

0 / 0 Aufgaben

Aufgabenblock — AFB III

Begründen statt nur rechnen: rückwärts arbeiten, Strukturen erkennen und eigene Begründungssätze formulieren, bevor du die Musterlösung aufklappst.

Sinus bleibt unter 1

AFB III

Begründe in 2–3 Sätzen, warum im rechtwinkligen Dreieck für jeden spitzen Winkel 0 < sin α < 1 gilt.

Hinweis: Vergleiche die Längen, die im Bruch stehen.

Strategie: Schau, welche Seite im Nenner steht und wie lang sie im Vergleich zu den anderen ist.Warum so? Der Bruch ist positiv, weil beide Längen positiv sind — die Größenbeziehung entscheidet über „kleiner als 1“.

Lösungsskizze: sin α = Gegenkathete : Hypotenuse → Hypotenuse ist die längste Seite → Zähler kleiner als Nenner → Wert unter 1; beide positiv → Wert über 0.

Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: sin α ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. Beide Längen sind positiv, also ist der Quotient größer als 0. Da die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüberliegt, ist sie die längste Seite des Dreiecks; der Zähler ist also stets kleiner als der Nenner und der Quotient kleiner als 1.

Die Hypotenuse ist die längste Seite

Ergänzungswinkel

AFB III

Zeige mithilfe der Seiten a, b, c, dass sin α = cos β gilt, wenn γ = 90° ist.

Hinweis: Benenne die Seiten einmal aus Sicht von α und einmal aus Sicht von β.

Strategie: Schreibe sin α und cos β jeweils als Bruch aus a, b, c.Warum so? So werden zwei scheinbar verschiedene Ausdrücke vergleichbar.

Lösungsskizze: sin α = a : c; aus Sicht von β ist a die Ankathete → cos β = a : c → gleich.

Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Aus Sicht von α ist a die Gegenkathete, also sin α = a : c. Aus Sicht von β liegt a am Winkel an, a ist die Ankathete von β, also cos β = a : c. Beide Terme sind derselbe Bruch, daher sin α = cos β. Wegen β = 90° − α gilt allgemein sin α = cos(90° − α).

Dieselbe Seite a, zwei Blickwinkel

tan 45° ohne Rechner

AFB III

Weise nach ohne Taschenrechner, dass tan 45° = 1 ist.

Hinweis: Welches besondere Dreieck entsteht, wenn ein spitzer Winkel 45° beträgt?

Strategie: Berechne zuerst den zweiten spitzen Winkel und überlege, was daraus für die Katheten folgt.Warum so? Gleiche Winkel liegen gleich langen Seiten gegenüber.

Lösungsskizze: α = 45° → β = 45° → gleichschenklig → a = b → tan 45° = a : b = 1.

Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Ist α = 45°, so ist auch β = 180° − 90° − 45° = 45°. Das Dreieck ist gleichschenklig-rechtwinklig, die Katheten sind gleich lang: a = b. Damit ist tan 45° = a : b = 1.

Zwei gleiche Katheten