Trigonometrie: Übungen AFB II – Mathe Klasse 9

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus allen Kapiteln des Themas: erst die Situation übersetzen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

Leiter an der Hauswand

AFB II

Eine 6 m lange Leiter lehnt an einer senkrechten Hauswand. Sie bildet mit dem Boden einen Winkel von 72°.

a) Wie hoch reicht die Leiter an der Wand? b) Wie weit steht der Fuß der Leiter von der Wand entfernt?

a) Höhe = m

b) Abstand = m

Ansatz: Die Leiter ist die Hypotenuse. Für die Höhe (Gegenkathete) passt der Sinus, für den Abstand (Ankathete) der Kosinus.

Rechenweg: a) h = 6 m · sin 72° ≈ 5,71 m; b) d = 6 m · cos 72° ≈ 1,85 m.

Lösung: a) 5,71 m b) 1,85 m

Vollständige Lösung

a) h = 6 m · sin 72° ≈ 5,71 m; b) d = 6 m · cos 72° ≈ 1,85 m. Die Leiter reicht etwa 5,71 m hoch, ihr Fuß steht 1,85 m von der Wand entfernt. Probe mit Pythagoras: 5,71² + 1,85² ≈ 36 = 6². Hinweis: Die Leiter ist die Hypotenuse; Höhe und Abstand sind die beiden Katheten.

Leiter, Wand und Boden bilden ein rechtwinkliges Dreieck

Rollstuhlrampe

AFB II

Eine Rollstuhlrampe darf höchstens 6 % Steigung haben. Sie soll einen Höhenunterschied von 0,45 m überwinden.

a) Welchen Neigungswinkel hat die Rampe bei genau 6 %? b) Wie lang muss die Rampe waagerecht gemessen mindestens sein?

a) α = °

b) Länge = m

Ansatz: 6 % bedeutet m = 0,06 = Höhe : waagerechte Länge. Der Winkel folgt mit tan⁻¹.

Rechenweg: a) α = tan⁻¹(0,06) ≈ 3,43°; b) waagerecht = 0,45 m : 0,06 = 7,5 m.

Lösung: a) 3,43° b) 7,5 m

Vollständige Lösung

a) α = tan⁻¹(0,06) ≈ 3,43°; b) waagerecht = 0,45 m : 0,06 = 7,5 m. Die Rampe ist nur etwa 3,43° geneigt und braucht waagerecht mindestens 7,5 m Platz. Hinweis: Prozent und Grad nicht verwechseln: 6 % sind nur gut 3°.

Die Steigung bezieht sich auf die waagerechte Strecke

Höhe eines Baums

AFB II

Lea steht 25 m vom Fuß eines Baums entfernt. Mit einem Neigungsmesser in Augenhöhe (1,6 m) misst sie zur Baumspitze einen Höhenwinkel von 32°.

a) Wie hoch liegt die Baumspitze über Leas Augenhöhe? b) Wie hoch ist der Baum?

a) x = m

b) h = m

Ansatz: Das rechtwinklige Dreieck liegt in Augenhöhe: Ankathete 25 m, Gegenkathete x → Tangens. Danach Augenhöhe addieren.

Rechenweg: a) x = 25 m · tan 32° ≈ 15,62 m; b) h = x + 1,6 m ≈ 17,22 m.

Lösung: a) 15,62 m b) 17,22 m

Vollständige Lösung

a) x = 25 m · tan 32° ≈ 15,62 m; b) h = x + 1,6 m ≈ 17,22 m. Die Spitze liegt 15,62 m über Leas Auge, der Baum ist also etwa 17,22 m hoch. Hinweis: Wer die Augenhöhe vergisst, verliert in der Arbeit den letzten Punkt.

Dreieck in Augenhöhe