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Satz des Pythagoras

Warum stimmt das eigentlich? Hier zählt nicht das Ergebnis, sondern die Begründung dahinter.

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Aufgabenblock — AFB III

Begründen statt nur rechnen: rückwärts arbeiten, Strukturen erkennen und eigene Begründungssätze formulieren, bevor du die Musterlösung aufklappst.

A1
Begründen — die Hypotenuse ist die längste Seite
AFB III

Begründe in zwei bis drei Sätzen, warum die Hypotenuse in jedem rechtwinkligen Dreieck länger ist als jede der beiden Katheten.

Hinweis: Vergleiche c² mit a² und mit b².

Strategie: Nutze den Satz des Pythagoras und überlege, was ein positiver Summand bewirkt.Warum so? Längen vergleicht man bequem über ihre Quadrate — beide sind positiv.
Lösungsskizze: c² = a² + b² → b² > 0 → c² > a² → c > a (analog c > b).
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Nach dem Satz des Pythagoras ist c² = a² + b². Weil b² eine positive Zahl ist, ist c² größer als a². Da Längen positiv sind, folgt daraus c > a. Genauso zeigt man c > b — die Hypotenuse ist also immer die längste Seite.

A2
Verallgemeinern — Katheten verdoppeln
AFB III

Untersuche und begründe, was mit der Hypotenuse und mit dem Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks passiert, wenn man beide Katheten verdoppelt.

Hinweis: Setze 2a und 2b in den Satz des Pythagoras ein.

Strategie: Rechne allgemein mit Variablen, nicht mit einem Zahlenbeispiel.Warum so? Ein Beispiel zeigt nur einen Fall — Variablen zeigen alle.
Lösungsskizze: neu: (2a)² + (2b)² = 4(a² + b²) = 4c² → neue Hypotenuse 2c; Fläche ½ · 2a · 2b = 4 · ½ab.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Mit den Katheten 2a und 2b gilt für die neue Hypotenuse x: x² = (2a)² + (2b)² = 4a² + 4b² = 4c². Also ist x = 2c — die Hypotenuse verdoppelt sich ebenfalls. Der Flächeninhalt wird ½ · 2a · 2b = 4 · ½ · a · b, er vervierfacht sich.

A3
Beurteilen — ist die Tischecke rechtwinklig?
AFB III

Beurteile, ob eine Tischplatte einen rechten Winkel hat: Ein Tischler misst an einer Ecke 60 cm und 80 cm entlang der Kanten und zwischen den Messpunkten 99 cm.

Hinweis: Welcher Wert müsste bei einem rechten Winkel herauskommen?

Strategie: Umkehrung des Pythagoras: a² + b² mit c² vergleichen und das Ergebnis deuten.Warum so? Nur so lässt sich entscheiden, ob der Winkel zu groß oder zu klein ist.
Lösungsskizze: 60² + 80² = 10000, 99² = 9801 → 10000 > 9801 → Winkel kleiner als 90°.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Bei einem rechten Winkel müsste die Diagonale √(60² + 80²) cm = √10000 cm = 100 cm lang sein. Gemessen sind aber nur 99 cm: 99² = 9801 < 10000 = 60² + 80². Die Ecke ist also spitzwinklig, der Winkel etwas kleiner als 90° — die Platte ist nicht rechtwinklig.