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Satz des Pythagoras

Leiter, Display, Drachenschnur: Hier musst du das rechtwinklige Dreieck erst selbst entdecken, bevor du rechnen kannst.

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Aufgabenblock — AFB II

Zehn Sachaufgaben aus allen Unterkapiteln: erst das rechtwinklige Dreieck in der Situation finden, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.

A1
Feuerwehr — Drehleiter am Haus
AFB II

Eine Drehleiter ist 30 m lang ausgefahren. Ihr Drehpunkt sitzt 2,5 m über dem Boden, der Leiterfuß steht waagerecht 12 m von der Hauswand entfernt.

a) Wie hoch reicht die Leiter über dem Drehpunkt? b) In welcher Höhe über dem Boden liegt die Leiterspitze?

m
m
Ansatz: Leiter = Hypotenuse, 12 m waagerecht = Kathete. Gesucht ist die senkrechte Kathete — danach die Höhe des Drehpunkts addieren.
Rechenweg: h = √(30² − 12²) = √(900 − 144) = √756 ≈ 27,50 m; 27,50 m + 2,5 m
Lösung: a) ≈ 27,50 m b) ≈ 30,0 m
Vollständige Lösung
Die Leiter reicht √756 m ≈ 27,50 m über den Drehpunkt, die Spitze liegt also etwa 27,50 m + 2,50 m ≈ 30,0 m über dem Boden. Hinweis: Den Drehpunkt vergessen viele — die Rechnung beginnt nicht am Boden.
A2
Smartphone — Display in Zoll
AFB II

Ein Smartphone hat eine Bildschirmdiagonale von 6,1 Zoll (1 Zoll = 2,54 cm). Das Display ist hochkant 7,1 cm breit.

a) Rechne die Diagonale in cm um. b) Wie hoch ist das Display? (zwei Nachkommastellen)

cm
cm
Ansatz: Erst Zoll in cm umrechnen. Die Diagonale ist die Hypotenuse, Breite und Höhe sind die Katheten.
Rechenweg: d = 6,1 · 2,54 cm = 15,494 cm; h = √(15,494² − 7,1²) = √(240,06 − 50,41) = √189,65
Lösung: a) ≈ 15,49 cm b) ≈ 13,77 cm
Vollständige Lösung
d = 6,1 · 2,54 cm ≈ 15,49 cm. Höhe h = √(15,494² − 7,1²) cm ≈ √189,65 cm ≈ 13,77 cm. Das Display ist etwa 13,77 cm hoch. Hinweis: Mit dem ungerundeten Wert 15,494 weiterrechnen, erst am Ende runden.
A3
Abkürzung über den Sportplatz
AFB II

Ein rechteckiger Sportplatz ist 80 m lang und 60 m breit. Mia läuft nicht außen herum, sondern quer über den Platz von einer Ecke zur gegenüberliegenden.

a) Wie lang ist ihr Weg quer über den Platz? b) Wie viele Meter spart sie gegenüber dem Weg außen entlang?

m
m
Ansatz: Der Weg quer ist die Diagonale des Rechtecks — sie ist die Hypotenuse zu den Seiten 80 m und 60 m.
Rechenweg: d = √(80² + 60²) = √(6400 + 3600) = √10000; außen: 80 m + 60 m = 140 m
Lösung: a) 100 m b) 40 m
Vollständige Lösung
Quer über den Platz: d = √10000 m = 100 m. Außen herum: 140 m. Mia spart 140 m − 100 m = 40 m. Hinweis: 80, 60, 100 ist das Tripel 3, 4, 5 mal 20 — die Wurzel geht glatt auf.