Aufgabenblock — AFB III
Begründen statt nur rechnen: Regeln prüfen, Fehler finden und eigene Begründungssätze formulieren, bevor du die Musterlösung aufklappst.
Begründe, warum es √(−16) in den reellen Zahlen nicht gibt.
Hinweis: Denke daran, was beim Quadrieren herauskommt.
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Musterlösung: √(−16) müsste eine Zahl b mit b² = −16 sein. Jede reelle Zahl ergibt quadriert aber 0 oder eine positive Zahl, denn Minus mal Minus ist Plus. Deshalb gibt es keine solche Zahl, und √(−16) ist in ℝ nicht definiert.
Untersuche, ob √(a + b) = √a + √b für alle a, b ≥ 0 gilt. Gib ein Gegenbeispiel an und nenne, wann die Gleichung doch stimmt.
Hinweis: Probiere zwei Quadratzahlen, deren Summe wieder eine Quadratzahl ist.
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Musterlösung: Die Gleichung gilt nicht allgemein: √(9 + 16) = √25 = 5, aber √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Quadriert man die rechte Seite, erhält man a + 2√(ab) + b. Das ist nur dann gleich a + b, wenn √(ab) = 0 ist, also wenn a = 0 oder b = 0 gilt.
Beurteile die Aussage: „√2 = 1,414213562 — das zeigt ja der Taschenrechner.“
Hinweis: Wie viele Stellen hat √2 wirklich?
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Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Der Rechner zeigt nur zehn Stellen und rundet. 1,414213562 ist eine endliche Dezimalzahl, also rational — √2 ist aber irrational und hat unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode. Richtig ist √2 ≈ 1,414213562.