MINT üben

Quadratische Funktionen

Beurteilen, begründen, verallgemeinern: zehn Aufgaben, bei denen der Rechenweg allein nicht reicht.

Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
3

Aufgabenblock — AFB III

Begründen statt nur rechnen: Aussagen beurteilen, Fehler finden, allgemein zeigen. Formuliere deine Antwort in ganzen Sätzen, bevor du die Musterlösung aufklappst.

A1
Keine Lösung ohne Rechnen
AFB III

Begründen Sie, dass die Gleichung \(x^2+5=0\) keine Lösung hat — algebraisch und am Graphen.

Hinweis: Überlegen Sie, welche Werte \(x^2\) annehmen kann.

Strategie: Umstellen auf \(x^2=-5\) und das Vorzeichen eines Quadrats betrachten.Warum so? Das Argument „ein Quadrat ist nie negativ“ ersetzt jede Rechnung.
Lösungsskizze: \(x^2\ge0\) · \(-5<0\) · keine Zahl passt · Graph \(y=x^2+5\) hat Scheitel \((0|5)\) über der \(x\)-Achse.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Aus \(x^2+5=0\) folgt \(x^2=-5\). Ein Quadrat ist aber nie negativ, also gibt es keine Lösung. Am Graphen: \(y=x^2+5\) ist die um 5 nach oben verschobene Normalparabel mit Scheitel \(S(0\,|\,5)\); sie ist nach oben geöffnet und erreicht die \(x\)-Achse nie.

A2
Immer zwei Nullstellen?
AFB III

Beurteilen Sie die Aussage: „Ist in \(f(x)=a\,(x-d)^2+e\) der Faktor \(a<0\) und \(e>0\), hat die Parabel immer genau zwei Nullstellen.“

Hinweis: Skizzieren Sie Lage des Scheitels und Öffnung.

Strategie: Lage des Scheitels und Öffnungsrichtung kombinieren.Warum so? Aus der Skizze folgt die Anzahl der Schnittstellen mit der \(x\)-Achse unmittelbar.
Lösungsskizze: Scheitel oberhalb der \(x\)-Achse · Öffnung nach unten · Graph fällt beidseitig unter \(0\) · zwei Schnittstellen · algebraisch \((x-d)^2=-\tfrac ea>0\).
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Die Aussage stimmt. Bei \(e>0\) liegt \(S\) über der \(x\)-Achse, bei \(a<0\) ist die Parabel nach unten geöffnet — links und rechts von \(S\) fällt sie unter die \(x\)-Achse und schneidet sie genau zweimal. Algebraisch: \((x-d)^2=-\tfrac ea\) ist positiv, also gibt es die zwei Lösungen \(x=d\pm\sqrt{-\tfrac ea}\).

A3
Parameter für genau eine Lösung
AFB III

Ermitteln Sie alle Werte von \(c\), für die \(x^2+6x+c=0\) genau eine Lösung hat, und begründen Sie am Graphen.

Hinweis: Die Diskriminante entscheidet über die Anzahl.

Strategie: Diskriminante \(D=\left(\tfrac p2\right)^2-q\) gleich null setzen.Warum so? Genau eine Lösung heißt \(D=0\) — eine Gleichung für \(c\).
Lösungsskizze: \(D=9-c\) · \(D=0\) ⇔ \(c=9\) · dann \((x+3)^2=0\) · Scheitel \((-3|0)\) berührt die \(x\)-Achse.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)

Musterlösung: Mit \(p=6\), \(q=c\) ist \(D=9-c\). Genau eine Lösung gibt es nur für \(D=0\), also \(c=9\). Dann ist \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) und die Lösung \(x=-3\). Am Graphen: Der Scheitel \(S(-3\,|\,0)\) liegt auf der \(x\)-Achse. Für \(c<9\) gibt es zwei, für \(c>9\) keine Lösung.