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Aufgabenblock — AFB II
Zehn Aufgaben aus allen Unterkapiteln: erst die passende Form wählen, dann in mehreren Schritten rechnen — mit gestuften Tipps, wenn du nicht weiterkommst.
A1
Scheitelpunkt durch Ergänzen
AFB IIGegeben ist \(f(x)=x^2-8x+10\).
Bestimmen Sie mit quadratischer Ergänzung den Scheitelpunkt.
Ansatz: Die halbe Zahl vor \(x\) ist \(-4\); ergänze \((-4)^2=16\).
Rechenweg: \(x^2-8x+16-16+10=(x-4)^2-6\).
Lösung: \(S(4\,|\,-6)\)
Vollständige Lösung
\(f(x)=x^2-8x+16-16+10=(x-4)^2-6\). Also \(S(4\,|\,-6)\). Hinweis: Die Ergänzung wird addiert und subtrahiert, sonst ändert sich die Funktion.
A2
Ergänzen mit Streckfaktor
AFB IIGegeben ist \(f(x)=2x^2+12x+13\).
Bestimmen Sie den Scheitelpunkt.
Ansatz: Erst \(2\) aus \(2x^2+12x\) ausklammern: \(2\,(x^2+6x)+13\).
Rechenweg: \(2\,\big((x+3)^2-9\big)+13=2\,(x+3)^2-18+13\).
Lösung: \(S(-3\,|\,-5)\)
Vollständige Lösung
\(f(x)=2\,(x^2+6x)+13=2\,\big((x+3)^2-9\big)+13=2\,(x+3)^2-5\). Scheitelpunkt \(S(-3\,|\,-5)\). Hinweis: Die \(-9\) steht in der Klammer und wird mit \(2\) multipliziert.
A3
Punktprobe
AFB IIGegeben ist \(f(x)=\tfrac12\,(x-1)^2+2\) und der Punkt \(P(3\,|\,4)\).
Berechnen Sie \(f(3)\) und entscheiden Sie, ob \(P\) auf dem Graphen liegt.
Ansatz: \(x=3\) einsetzen und mit der \(y\)-Koordinate von \(P\) vergleichen.
Rechenweg: \(f(3)=\tfrac12\cdot2^2+2=2+2\).
Lösung: \(f(3)=4\) — \(P\) liegt auf dem Graphen.
Vollständige Lösung
\(f(3)=\tfrac12\,(3-1)^2+2=\tfrac12\cdot4+2=4\). Das ist genau die \(y\)-Koordinate von \(P\), also liegt \(P\) auf der Parabel.