Aufgabenblock — AFB III
Hier reicht Rechnen allein nicht mehr — du sollst beurteilen, rückwärts arbeiten und zu Behauptungen Stellung nehmen. Die Aufgaben gehen quer durch das ganze Kapitel: von Anteilen in Tafeln über Pfadregeln bis zu seltenen Merkmalen, Unabhängigkeit und Zufallsschwankungen. Wahrscheinlichkeiten gibst du als Dezimalzahl oder Bruch ein (z. B. 0,3 oder 3/10). Bei den Begründungsteilen gilt: erst selbst formulieren, dann die Musterlösung öffnen.
In zwei Schulen wurde gefragt: „Liegt dein Handy nachts neben dem Bett?“ In der Schule Nord antworteten 84 von 240 Befragten mit Ja, in der Schule Süd 60 von 150.
Die Schülerzeitung titelt: „In Nord ist das Handy-Problem größer — dort sind es 24 Ja-Stimmen mehr!“
c) Nimm Stellung zur Schlagzeile in 2–3 Sätzen. Welche Zahl hätte die Zeitung vergleichen müssen?
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a) hNord = 84 : 240 = 0,35 (35 %)
b) hSüd = 60 : 150 = 0,4 (40 %)
c) Die Schlagzeile ist irreführend. Sie vergleicht absolute Häufigkeiten, obwohl in Nord 90 Personen mehr befragt wurden. Aussagekräftig ist der Anteil: In Süd liegt das Handy bei 40 % der Befragten neben dem Bett, in Nord nur bei 35 %. Wenn überhaupt, ist das „Problem“ also in Süd größer. Die Zeitung hätte die relativen Häufigkeiten vergleichen müssen.
In einer Stadtbibliothek wurden an einem Tag 400 Besucher gezählt. Merkmale: U = „unter 18 Jahre“, E = „leiht E-Books aus“. Bekannt ist nur: 55 % sind unter 18, 40 % leihen E-Books aus, und 90 Besucher sind unter 18 und leihen E-Books aus.
b) Begründe, warum bei bekannter Gesamtzahl drei passende Angaben genügen, um die ganze Tafel auszufüllen. c) Zeige mit einem Gegenbeispiel, dass die beiden Randsummen 220 und 160 allein nicht genügen.
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a) U: 0,55 · 400 = 220, U: 180. E: 0,4 · 400 = 160. U und E: 160 − 90 = 70. U und E: 180 − 70 = 110 Besucher.
b) Die vier inneren Felder sind durch die Summen verknüpft: In jeder Zeile und jeder Spalte gilt „Feld + Feld = Randsumme“, und alle vier Felder zusammen ergeben die Gesamtzahl. Kennt man die Gesamtzahl und drei weitere passende Werte (hier zwei Randsummen aus verschiedenen Richtungen und ein inneres Feld), kann man jedes fehlende Feld als Differenz ausrechnen. Es bleibt keine Wahlmöglichkeit.
c) Mit U = 220 und E = 160 passen z. B. „U und E = 90“ (wie oben) und „U und E = 100“: dann wären U und E = 120, U und E = 60, U und E = 120. Beide Tafeln haben dieselben Randsummen — also legen die Randsummen allein die inneren Felder nicht fest.
In einer Lostrommel liegen 10 Lose, davon 3 Gewinne. Mia zieht zuerst ein Los und behält es, danach zieht Ben. Ben beschwert sich: „Unfair! Wenn Mia schon einen Gewinn erwischt hat, bleiben für mich weniger übrig. Als Zweiter bin ich im Nachteil.“
b) Beurteile Bens Aussage. c) Erkläre ohne Rechnung, warum das Ergebnis aus a) kein Zufall ist.
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a) P(Ben gewinnt) = 3/10 · 2/9 + 7/10 · 3/9 = 6/90 + 21/90 = 27/90 = 0,3.
b) Bens Aussage ist falsch. Zwar sinkt seine Chance auf 2/9, wenn Mia gewonnen hat — aber sie steigt auf 3/9, wenn Mia eine Niete gezogen hat, und das ist wahrscheinlicher (7/10). Insgesamt hat Ben genau dieselbe Chance wie Mia: 0,3.
c) Solange Ben Mias Los nicht kennt, weiß er nichts Zusätzliches. Man kann sich vorstellen, dass beide ihr Los gleichzeitig ziehen — dann ist klar, dass kein Los bevorzugt ist. Jedes der 10 Lose landet mit gleicher Wahrscheinlichkeit bei Ben, also gewinnt er mit 3/10. Die Reihenfolge spielt erst eine Rolle, wenn man Mias Ergebnis schon kennt.
Reflexion — was hast du mitgenommen?
AFB III bedeutet: nicht nur rechnen, sondern Ergebnisse beurteilen. Du hast geübt:
- Anteile statt Anzahlen — Gruppen verschiedener Größe vergleicht man über relative Häufigkeiten.
- Rückwärts rechnen — fehlende Felder, Äste und sogar p aus einer Gesamtwahrscheinlichkeit bestimmen.
- Bedingung richtig herum lesen — PS(V) ist nicht PV(S); der umgekehrte Baum klärt das.
- Seltene Merkmale beachten — bei seltenen Merkmalen sind viele „Treffer“ Fehlalarme.
- Variabilität einschätzen — ob eine Abweichung auffällig ist, hängt von n ab.
- Zusammenhang ≠ Ursache — abhängige Merkmale können ein Drittmerkmal als gemeinsamen Grund haben; unabhängig ist nicht dasselbe wie unvereinbar.
In der Klassenarbeit zählt bei „Beurteile“ und „Nimm Stellung“ die Begründung mit Zahlen: Nenne die passende bedingte Wahrscheinlichkeit, vergleiche und formuliere einen klaren Antwortsatz.